home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Complete Linux / Complete Linux.iso / xwindows / demos / xfract_1.z / xfract_1 / xfractint-1.06 / help2.src < prev    next >
Text File  |  1992-09-28  |  103KB  |  2,458 lines
  1. ~Topic=Summary of Fractal Types, Label=HELPFRACTALS
  2. ~Format-
  3. ~Doc-
  4. For detailed descriptions, select a hot-link below, see {Fractal Types},
  5. or use <F2> from the fractal type selection screen.
  6. ~Doc+,Online-
  7. SUMMARY OF FRACTAL TYPES
  8. ~Online+
  9. ~CompressSpaces-
  10. ;
  11. ; Note that prompts.c pulls formulas out of the following for <Z> screen,
  12. ; using the HF_xxx labels.  It assumes a rigid formatting structure for
  13. ; the formulas:
  14. ;    4 leading blanks (which get stripped on <Z> screen)
  15. ;    lines no wider than 76 characters (not counting initial 4 spaces)
  16. ;    formula ends at any of:
  17. ;    blank line
  18. ;    line which begins in column 1
  19. ;    format ctl char (~xxx, {xxx}, \x)
  20. ;
  21.  
  22. {=HT_BARNS barnsleyj1}
  23. ~Label=HF_BARNSJ1
  24.       z(0) = pixel;
  25.       z(n+1) = (z-1)*c if real(z) >= 0, else
  26.       z(n+1) = (z+1)*modulus(c)/c
  27.     Two parameters: real and imaginary parts of c
  28. {=HT_BARNS barnsleyj2}
  29. ~Label=HF_BARNSJ2
  30.       z(0) = pixel;
  31.       if real(z(n)) * imag(c) + real(c) * imag(z((n)) >= 0
  32.      z(n+1) = (z(n)-1)*c
  33.       else
  34.      z(n+1) = (z(n)+1)*c
  35.     Two parameters: real and imaginary parts of c
  36. {=HT_BARNS barnsleyj3}
  37. ~Label=HF_BARNSJ3
  38.       z(0) = pixel;
  39.       if real(z(n) > 0 then z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1)
  40.      + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n))) else
  41.       z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1 + real(c) * real(z(n))
  42.          + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n)) + imag(c) * real(z(n))
  43.     Two parameters: real and imaginary parts of c.
  44. ~OnlineFF
  45. {=HT_BARNS barnsleym1}
  46. ~Label=HF_BARNSM1
  47.       z(0) = c = pixel;
  48.       if real(z) >= 0 then
  49.     z(n+1) = (z-1)*c
  50.       else
  51.     z(n+1) = (z+1)*modulus(c)/c.
  52.     Parameters are perturbations of z(0)
  53. {=HT_BARNS barnsleym2}
  54. ~Label=HF_BARNSM2
  55.       z(0) = c = pixel;
  56.       if real(z)*imag(c) + real(c)*imag(z) >= 0
  57.     z(n+1) = (z-1)*c
  58.       else
  59.     z(n+1) = (z+1)*c
  60.     Parameters are perturbations of z(0)
  61. {=HT_BARNS barnsleym3}
  62. ~Label=HF_BARNSM3
  63.       z(0) = c = pixel;
  64.       if real(z(n) > 0 then z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1)
  65.      + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n))) else
  66.       z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1 + real(c) * real(z(n))
  67.      + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n)) + imag(c) * real(z(n))
  68.     Parameters are pertubations of z(0)
  69. ~OnlineFF
  70.  
  71. {=HT_BIF bifurcation}
  72. ~Label=HF_BIFURCATION
  73.     Pictoral representation of a population growth model.
  74.       Let P = new population, p = oldpopulation, r = growth rate
  75.       The model is: P = p + r*fn(p)*(1-fn(p)).
  76.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Function.
  77. {=HT_BIF bif+sinpi}
  78. ~Label=HF_BIFPLUSSINPI
  79.     Bifurcation variation: model is: P = p + r*fn(PI*p).
  80.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Function.
  81. {=HT_BIF bif=sinpi}
  82. ~Label=HF_BIFEQSINPI
  83.     Bifurcation variation: model is: P = r*fn(PI*p).
  84.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Function.
  85. {=HT_BIF biflambda}
  86. ~Label=HF_BIFLAMBDA
  87.     Bifurcation variation: model is: P = r*fn(p)*(1-fn(p)).
  88.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Function.
  89. {=HT_BIF bifstewart}
  90. ~Label=HF_BIFSTEWART
  91.     Bifurcation variation: model is: P = (r*fn(p)*fn(p)) - 1.
  92.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Function.
  93. {=HT_BIF bifmay}
  94. ~Label=HF_BIFMAY
  95.     Bifurcation variation: model is: P = r*p / ((1+p)^beta).
  96.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Beta.
  97. ~OnlineFF
  98.  
  99. {=HT_CELLULAR cellular}
  100. ~Label=HF_CELLULAR
  101.     One-dimensional cellular automata or line automata.  The type of CA
  102.     is given by kr, where k is the number of different states of the
  103.     automata and r is the radius of the neighborhood.  The next generation
  104.     is determined by the sum of the neighborhood and the specified rule.
  105.     Four parameters: Initial String, Rule, Type, and Starting Row Number.
  106.  
  107. {=HT_CIRCLE circle}
  108. ~Label=HF_CIRCLE
  109.     Circle pattern by John Connett
  110.       x + iy = pixel
  111.       z = a*(x^2 + y^2)
  112.       c = integer part of z
  113.       color = c modulo(number of colors)
  114.  
  115. {=HT_MARKS cmplxmarksjul}
  116. ~Label=HF_CMPLXMARKSJUL
  117.     A generalization of the marksjulia fractal.
  118.       z(0) = pixel;
  119.       z(n+1) = (c^exp)*z(n) + c.
  120.     Four parameters: real and imaginary parts of c and exp.
  121. ~OnlineFF
  122.  
  123. {=HT_MARKS cmplxmarksmand}
  124. ~Label=HF_CMPLXMARKSMAND
  125.     A generalization of the marksmandel fractal.
  126.       z(0) = c = pixel;
  127.       z(n+1) = (c^exp)*z(n) + c.
  128.     Four parameters: real and imaginary parts of
  129.     perturbation of z(0) and exp.
  130.  
  131. {=HT_NEWTCMPLX complexnewton\, complexbasin}
  132. ~Label=HF_COMPLEXNEWT
  133.     Newton fractal types extended to complex degrees. Complexnewton
  134.     colors pixels according to the number of iterations required to
  135.     escape to a root. Complexbasin colors pixels according to which
  136.     root captures the orbit. The equation is based on the newton
  137.     formula for solving the equation z^p = r
  138.       z(0) = pixel;
  139.       z(n+1) = ((p - 1) * z(n)^p + r)/(p * z(n)^(p - 1)).
  140.     Four parameters: real & imaginary parts of degree p and root r
  141.  
  142. {=HT_DIFFUS diffusion}
  143. ~Label=HF_DIFFUS
  144.     Diffusion Limited Aggregation.  Randomly moving points
  145.     accumulate.  Two parameters: border width (default 10), type
  146. ~OnlineFF
  147.  
  148. {=HT_DYNAM dynamic}
  149. ~Label=HF_DYNAM
  150.     Time-discrete dynamic system.
  151.       x(0) = y(0) = start position.
  152.       y(n+1) = y(n) + f( x(n) )
  153.       x(n+1) = x(n) - f( y(n) )
  154.       f(k) = sin(k + a*fn1(b*k))
  155.     For implicit Euler approximation: x(n+1) = x(n) - f( y(n+1) )
  156.     Five parameters: start position step, dt, a, b, and the function fn1.
  157.  
  158. {=HT_SCOTSKIN fn+fn(pix)}
  159. ~Label=HF_FNPLUSFNPIX
  160.       c = z(0) = pixel;
  161.       z(n+1) = fn1(z) + p*fn2(c)
  162.     Six parameters: real and imaginary parts of the perturbation
  163.     of z(0) and factor p, and the functions fn1, and fn2.
  164.  
  165. {=HT_SCOTSKIN fn(z*z)}
  166. ~Label=HF_FNZTIMESZ
  167.       z(0) = pixel;
  168.       z(n+1) = fn(z(n)*z(n))
  169.     One parameter: the function fn.
  170. ~OnlineFF
  171.  
  172. {=HT_SCOTSKIN fn*fn}
  173. ~Label=HF_FNTIMESFN
  174.       z(0) = pixel; z(n+1) = fn1(n)*fn2(n)
  175.     Two parameters: the functions fn1 and fn2.
  176.  
  177. {=HT_SCOTSKIN fn*z+z}
  178. ~Label=HF_FNXZPLUSZ
  179.       z(0) = pixel; z(n+1) = p1*fn(z(n))*z(n) + p2*z(n)
  180.     Six parameters: the real and imaginary components of
  181.     p1 and p2, and the functions fn1 and fn2.
  182.  
  183. {=HT_SCOTSKIN fn+fn}
  184. ~Label=HF_FNPLUSFN
  185.       z(0) = pixel;
  186.       z(n+1) = p1*fn1(z(n))+p2*fn2(z(n))
  187.     Six parameters: The real and imaginary components of
  188.     p1 and p2, and the functions fn1 and fn2.
  189. ~OnlineFF
  190.  
  191. {=HT_FORMULA formula}
  192.     Formula interpreter - write your own formulas as text files!
  193.  
  194. {=HT_GINGER gingerbread}
  195. ~Label=HF_GINGER
  196.     Orbit in two dimensions defined by:
  197.       x(n+1) = 1 - y(n) + |x(n)|
  198.       y(n+1) = x(n)
  199.     Two parameters: initial values of x(0) and y(0).
  200.  
  201. {=HT_HALLEY halley}
  202. ~Label=HF_HALLEY
  203.       Halley map for the function: F = z(z^a - 1) = 0
  204.       z(0) = pixel;
  205.       z(n+1) = z(n) - R * F / [F' - (F" * F / 2 * F')]
  206.       bailout when: abs(mod(z(n+1)) - mod(z(n)) < epsilon
  207.     Three parameters: order of z (a), relaxation coefficient (R),
  208.                       small number for bailout (epsilon).
  209. ~OnlineFF
  210.  
  211. {=HT_HENON henon}
  212. ~Label=HF_HENON
  213.     Orbit in two dimensions defined by:
  214.       x(n+1) = 1 + y(n) - a*x(n)*x(n)
  215.       y(n+1) = b*x(n)
  216.     Two parameters: a and b
  217.  
  218. {=HT_MARTIN hopalong}
  219. ~Label=HF_HOPALONG
  220.     Hopalong attractor by Barry Martin - orbit in two dimensions.
  221.       z(0) = y(0) = 0;
  222.       x(n+1) = y(n) - sign(x(n))*sqrt(abs(b*x(n)-c))
  223.       y(n+1) = a - x(n)
  224.     Parameters are a, b, and c.
  225. ~OnlineFF
  226.  
  227. {=HT_IFS IFS}
  228.     Barnsley IFS (Iterated Function System) fractals. Apply
  229.     contractive affine mappings.
  230.  
  231. {=HT_PICKMJ julfn+exp}
  232. ~Label=HF_JULFNPLUSEXP
  233.     A generalized Clifford Pickover fractal.
  234.       z(0) = pixel;
  235.       z(n+1) = fn(z(n)) + e^z(n) + c.
  236.     Three parameters: real & imaginary parts of c, and fn
  237.  
  238. {=HT_PICKMJ julfn+zsqrd}
  239. ~Label=HF_JULFNPLUSZSQRD
  240.       z(0) = pixel;
  241.       z(n+1) = fn(z(n)) + z(n)^2 + c
  242.     Three parameters: real & imaginary parts of c, and fn
  243.  
  244. {=HT_JULIA julia}
  245. ~Label=HF_JULIA
  246.     Classic Julia set fractal.
  247.       z(0) = pixel; z(n+1) = z(n)^2 + c.
  248.     Two parameters: real and imaginary parts of c.
  249. ~OnlineFF
  250.  
  251. {=HT_INVERSE julia_inverse}
  252. ~Label=HF_INVERSE
  253.     Inverse Julia function - orbit traces Julia set in two dimensions.
  254.       z(0) = (1,1); 
  255.       z(n+1) = +- sqrt(z(n) - c) (randomly choose one)
  256.     Parameters are real and imaginary parts of c.
  257.  
  258. {=HT_MANDJUL4 julia4}
  259. ~Label=HF_JULIA4
  260.     Fourth-power Julia set fractals, a special case
  261.     of julzpower kept for speed.
  262.       z(0) = pixel;
  263.       z(n+1) = z(n)^4 + c.
  264.     Two parameters: real and imaginary parts of c.
  265.  
  266. {=HT_JULIBROT julibrot}
  267.     'Julibrot' 4-dimensional fractals.
  268.  
  269. {=HT_PICKMJ julzpower}
  270. ~Label=HF_JULZPOWER
  271.       z(0) = pixel;
  272.       z(n+1) = z(n)^m + c.
  273.     Three parameters: real & imaginary parts of c, exponent m
  274. ~OnlineFF
  275.  
  276. {=HT_PICKMJ julzzpwr}
  277. ~Label=HF_JULZZPWR
  278.       z(0) = pixel;
  279.       z(n+1) = z(n)^z(n) + z(n)^m + c.
  280.     Three parameters: real & imaginary parts of c, exponent m
  281.  
  282. {=HT_KAM kamtorus, kamtorus3d}
  283. ~Label=HF_KAM
  284.     Series of orbits superimposed.
  285.     3d version has 'orbit' the z dimension.
  286.       x(0) = y(0) = orbit/3;
  287.       x(n+1) = x(n)*cos(a) + (x(n)*x(n)-y(n))*sin(a)
  288.       y(n+1) = x(n)*sin(a) - (x(n)*x(n)-y(n))*cos(a)
  289.     After each orbit, 'orbit' is incremented by a step size.
  290.     Parameters: a, step size, stop value for 'orbit', and
  291.     points per orbit.
  292.  
  293. {=HT_LAMBDA lambda}
  294. ~Label=HF_LAMBDA
  295.     Classic Lambda fractal. 'Julia' variant of Mandellambda.
  296.       z(0) = pixel;
  297.       z(n+1) = lambda*z(n)*(1 - z(n)).
  298.     Two parameters: real and imaginary parts of lambda.
  299. ~OnlineFF
  300.  
  301. {=HT_LAMBDAFN lambdafn}
  302. ~Label=HF_LAMBDAFN
  303.       z(0) = pixel;
  304.       z(n+1) = lambda * fn(z(n)).
  305.     Three parameters: real, imag portions of lambda, and fn
  306.  
  307. {=HT_FNORFN lambda(fn||fn)}
  308. ~Label=HF_LAMBDAFNFN
  309.       z(0) = pixel;
  310.       if modulus(z(n)) < shift value, then
  311.          z(n+1) = lambda * fn1(z(n)),
  312.       else
  313.          z(n+1) = lambda * fn2(z(n)).
  314.     Five parameters: real, imaginary portions of lambda, shift value,
  315.                      fn1 and fn2.
  316.  
  317. {=HT_FNORFN manlam(fn||fn)}
  318. ~Label=HF_MANLAMFNFN
  319.       c = pixel;
  320.       z(0) = p1
  321.       if modulus(z(n)) < shift value, then
  322.          z(n+1) = fn1(z(n)) * c, else
  323.          z(n+1) = fn2(z(n)) * c.
  324.     Five parameters: real, imaginary parts of p1, shift value, fn1, fn2.
  325. ~OnlineFF
  326.  
  327. {=HT_FNORFN julia(fn||fn)}
  328. ~Label=HF_JULIAFNFN
  329.       z(0) = pixel;
  330.       if modulus(z(n)) < shift value, then
  331.          z(n+1) = fn1(z(n)) + c,
  332.       else
  333.          z(n+1) = fn2(z(n)) + c.
  334.     Five parameters: real, imaginary portions of c, shift value,
  335.                      fn1 and fn2.
  336.  
  337. {=HT_FNORFN mandel(fn||fn)}
  338. ~Label=HF_MANDELFNFN
  339.       c = pixel;
  340.       z(0) = p1
  341.       if modulus(z(n)) < shift value, then
  342.          z(n+1) = fn1(z(n)) + c,
  343.       else
  344.          z(n+1) = fn2(z(n)) + c.
  345.     Five parameters: real, imaginary portions of p1, shift value,
  346.                      fn1 and fn2.
  347. ~OnlineFF
  348.  
  349. {=HT_LORENZ lorenz, lorenz3d}
  350. ~Label=HF_LORENZ
  351.     Lorenz two lobe attractor - orbit in three dimensions.
  352.     In 2d the x and y components are projected to form the image.
  353.       z(0) = y(0) = z(0) = 1;
  354.       x(n+1) = x(n) + (-a*x(n)*dt) + (     a*y(n)*dt)
  355.       y(n+1) = y(n) + ( b*x(n)*dt) - (       y(n)*dt) - (z(n)*x(n)*dt)
  356.       z(n+1) = z(n) + (-c*z(n)*dt) + (x(n)*y(n)*dt)
  357.     Parameters are dt, a, b, and c.
  358.  
  359. {=HT_LORENZ lorenz3d1}
  360. ~Label=HF_LORENZ3D1
  361.     Lorenz one lobe attractor - orbit in three dimensions.
  362.     The original formulas were developed by Rick Miranda and Emily Stone.
  363.       z(0) = y(0) = z(0) = 1; norm = sqrt(x(n)^2 + y(n)^2)
  364.       x(n+1) = x(n) + (-a*dt-dt)*x(n) + (a*dt-b*dt)*y(n) 
  365.          + (dt-a*dt)*norm + y(n)*dt*z(n)
  366.       y(n+1) = y(n) + (b*dt-a*dt)*x(n) - (a*dt+dt)*y(n) 
  367.          + (b*dt+a*dt)*norm - x(n)*dt*z(n) - norm*z(n)*dt
  368.       z(n+1) = z(n) +(y(n)*dt/2) - c*dt*z(n)
  369.     Parameters are dt, a, b, and c.
  370. ~OnlineFF
  371.  
  372. {=HT_LORENZ lorenz3d3}
  373. ~Label=HF_LORENZ3D3
  374.     Lorenz three lobe attractor - orbit in three dimensions.
  375.     The original formulas were developed by Rick Miranda and Emily Stone.
  376.       z(0) = y(0) = z(0) = 1; norm = sqrt(x(n)^2 + y(n)^2)
  377.       x(n+1) = x(n) +(-(a*dt+dt)*x(n) + (a*dt-b*dt+z(n)*dt)*y(n))/3 
  378.           + ((dt-a*dt)*(x(n)^2-y(n)^2) 
  379.           + 2*(b*dt+a*dt-z(n)*dt)*x(n)*y(n))/(3*norm)
  380.       y(n+1) = y(n) +((b*dt-a*dt-z(n)*dt)*x(n) - (a*dt+dt)*y(n))/3 
  381.           + (2*(a*dt-dt)*x(n)*y(n) 
  382.           + (b*dt+a*dt-z(n)*dt)*(x(n)^2-y(n)^2))/(3*norm)
  383.       z(n+1) = z(n) +(3*x(n)*dt*x(n)*y(n)-y(n)*dt*y(n)^2)/2 - c*dt*z(n)
  384.     Parameters are dt, a, b, and c.
  385. ~OnlineFF
  386.  
  387. {=HT_LORENZ lorenz3d4}
  388. ~Label=HF_LORENZ3D4
  389.     Lorenz four lobe attractor - orbit in three dimensions.
  390.     The original formulas were developed by Rick Miranda and Emily Stone.
  391.       z(0) = y(0) = z(0) = 1; 
  392.       x(n+1) = x(n) +(-a*dt*x(n)^3 
  393.          + (2*a*dt+b*dt-z(n)*dt)*x(n)^2*y(n) + (a*dt-2*dt)*x(n)*y(n)^2 
  394.          + (z(n)*dt-b*dt)*y(n)^3) / (2 * (x(n)^2+y(n)^2))
  395.       y(n+1) = y(n) +((b*dt-z(n)*dt)*x(n)^3 + (a*dt-2*dt)*x(n)^2*y(n) 
  396.          + (-2*a*dt-b*dt+z(n)*dt)*x(n)*y(n)^2 
  397.          - a*dt*y(n)^3) / (2 * (x(n)^2+y(n)^2))
  398.       z(n+1) = z(n) +(2*x(n)*dt*x(n)^2*y(n) - 2*x(n)*dt*y(n)^3 - c*dt*z(n))
  399.     Parameters are dt, a, b, and c.
  400. ~OnlineFF
  401.  
  402.  
  403. {=HT_LSYS lsystem}
  404.     Using a turtle-graphics control language and starting with
  405.     an initial axiom string, carries out string substitutions the
  406.     specified number of times (the order), and plots the resulting.
  407.  
  408. {=HT_LYAPUNOV lyapunov}
  409.     Derived from the Bifurcation fractal, the Lyapunov plots the Lyapunov
  410.     Exponent for a population model where the Growth parameter varies between
  411.     two values in a periodic manner.
  412.  
  413. {=HT_MAGNET magnet1j}
  414. ~Label=HF_MAGJ1
  415.       z(0) = pixel;
  416.         / z(n)^2 + (c-1) \\
  417.       z(n+1) = | ---------------- | ^ 2
  418.         \\ 2*z(n) + (c-2) /
  419.     Parameters: the real and imaginary parts of c
  420. ~OnlineFF
  421.  
  422. {=HT_MAGNET magnet1m}
  423. ~Label=HF_MAGM1
  424.       z(0) = 0; c = pixel;
  425.         / z(n)^2 + (c-1) \\
  426.       z(n+1) = | ---------------- | ^ 2
  427.         \\ 2*z(n) + (c-2) /
  428.     Parameters: the real & imaginary parts of perturbation of z(0)
  429. {=HT_MAGNET magnet2j}
  430. ~Label=HF_MAGJ2
  431.       z(0) = pixel;
  432.         / z(n)^3 + 3*(C-1)*z(n) + (C-1)*(C-2)          \\
  433.       z(n+1) = |  -------------------------------------------- | ^ 2
  434.         \\ 3*(z(n)^2) + 3*(C-2)*z(n) + (C-1)*(C-2) - 1 /
  435.     Parameters: the real and imaginary parts of c
  436. {=HT_MAGNET magnet2m}
  437. ~Label=HF_MAGM2
  438.       z(0) = 0; c = pixel;
  439.         / z(n)^3 + 3*(C-1)*z(n) + (C-1)*(C-2)          \\
  440.       z(n+1) = |  -------------------------------------------- | ^ 2
  441.         \\ 3*(z(n)^2) + 3*(C-2)*z(n) + (C-1)*(C-2) - 1 /
  442.     Parameters: the real and imaginary parts of perturbation of z(0)
  443. ~OnlineFF
  444.  
  445. {=HT_MANDEL mandel}
  446. ~Label=HF_MANDEL
  447.     Classic Mandelbrot set fractal.
  448.       z(0) = c = pixel;
  449.       z(n+1) = z(n)^2 + c.
  450.     Two parameters: real & imaginary perturbations of z(0)
  451.  
  452. {=HT_MANDELCLOUD mandelcloud}
  453. ~Label=HF_MANDELCLOUD
  454.     Displays orbits of Mandelbrot set:
  455.       z(0) = c = pixel;
  456.       z(n+1) = z(n)^2 + c.
  457.     One parameter: number of intervals
  458.  
  459. {=HT_MANDJUL4 mandel4}
  460. ~Label=HF_MANDEL4
  461.     Special case of mandelzpower kept for speed.
  462.       z(0) = c = pixel;
  463.       z(n+1) = z(n)^4 + c.
  464.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0)
  465.  
  466. {=HT_MANDFN mandelfn}
  467. ~Label=HF_MANDFN
  468.       z(0) = c = pixel;
  469.       z(n+1) = c*fn(z(n)).
  470.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and fn
  471. ~OnlineFF
  472.  
  473. {=HT_MARTIN Martin}
  474. ~Label=HF_MARTIN
  475.     Attractor fractal by Barry Martin - orbit in two dimensions.
  476.       z(0) = y(0) = 0;
  477.       x(n+1) = y(n) - sin(x(n))
  478.       y(n+1) = a - x(n)
  479.     Parameter is a (try a value near pi)
  480.  
  481. {=HT_MLAMBDA mandellambda}
  482. ~Label=HF_MLAMBDA
  483.       z(0) = .5; lambda = pixel;
  484.       z(n+1) = lambda*z(n)*(1 - z(n)).
  485.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0)
  486.  
  487. {=HT_PICKMJ manfn+exp}
  488. ~Label=HF_MANDFNPLUSEXP
  489.     'Mandelbrot-Equivalent' for the julfn+exp fractal.
  490.       z(0) = c = pixel;
  491.       z(n+1) = fn(z(n)) + e^z(n) + C.
  492.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and fn
  493. ~OnlineFF
  494.  
  495. {=HT_PICKMJ manfn+zsqrd}
  496. ~Label=HF_MANDFNPLUSZSQRD
  497.     'Mandelbrot-Equivalent' for the Julfn+zsqrd fractal.
  498.       z(0) = c = pixel;
  499.       z(n+1) = fn(z(n)) + z(n)^2 + c.
  500.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and fn
  501. {=HT_SCOTSKIN manowar}
  502. ~Label=HF_MANOWAR
  503.       c = z1(0) = z(0) = pixel;
  504.       z(n+1) = z(n)^2 + z1(n) + c;
  505.       z1(n+1) = z(n);
  506.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0)
  507. {=HT_SCOTSKIN manowar}
  508. ~Label=HF_MANOWARJ
  509.       z1(0) = z(0) = pixel;
  510.       z(n+1) = z(n)^2 + z1(n) + c;
  511.       z1(n+1) = z(n);
  512.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0)
  513. {=HT_PICKMJ manzpower}
  514. ~Label=HF_MANZPOWER
  515.     'Mandelbrot-Equivalent' for julzpower.
  516.       z(0) = c = pixel;
  517.       z(n+1) = z(n)^exp + c; try exp = e = 2.71828...
  518.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), real &
  519.     imaginary parts of exponent exp.
  520. ~OnlineFF
  521.  
  522. {=HT_PICKMJ manzzpwr}
  523. ~Label=HF_MANZZPWR
  524.     'Mandelbrot-Equivalent' for the julzzpwr fractal.
  525.       z(0) = c = pixel
  526.       z(n+1) = z(n)^z(n) + z(n)^exp + C.
  527.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and exponent
  528.  
  529. {=HT_MARKS marksjulia}
  530. ~Label=HF_MARKSJULIA
  531.     A variant of the julia-lambda fractal.
  532.       z(0) = pixel;
  533.       z(n+1) = (c^exp)*z(n) + c.
  534.     Parameters: real & imaginary parts of c, and exponent
  535. {=HT_MARKS marksmandel}
  536. ~Label=HF_MARKSMAND
  537.     A variant of the mandel-lambda fractal.
  538.       z(0) = c = pixel;
  539.       z(n+1) = (c^exp)*z(n) + c.
  540.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and exponent
  541.  
  542. ~OnlineFF
  543. {=HT_MARKS marksmandelpwr}
  544. ~Label=HF_MARKSMANDPWR
  545.     The marksmandelpwr formula type generalized (it previously
  546.     had fn=sqr hard coded).
  547.       z(0) = pixel, c = z(0) ^ (z(0) - 1):
  548.       z(n+1) = c * fn(z(n)) + pixel,
  549.     Parameters: real and imaginary pertubations of z(0), and fn
  550.  
  551. {=HT_NEWTBAS newtbasin}
  552. ~Label=HF_NEWTBAS
  553.     Based on the Newton formula for finding the roots of z^p - 1.
  554.     Pixels are colored according to which root captures the orbit.
  555.       z(0) = pixel;
  556.       z(n+1) = ((p-1)*z(n)^p + 1)/(p*z(n)^(p - 1)).
  557.     Two parameters: the polynomial degree p, and a flag to turn
  558.     on color stripes to show alternate iterations.
  559. {=HT_NEWT newton}
  560. ~Label=HF_NEWT
  561.     Based on the Newton formula for finding the roots of z^p - 1.
  562.     Pixels are colored according to the iteration when the orbit
  563.     is captured by a root.
  564.       z(0) = pixel;
  565.       z(n+1) = ((p-1)*z(n)^p + 1)/(p*z(n)^(p - 1)).
  566.     One parameter: the polynomial degree p.
  567.  
  568. ~OnlineFF
  569. {=HT_PICK pickover}
  570. ~Label=HF_PICKOVER
  571.     Orbit in three dimensions defined by:
  572.       x(n+1) = sin(a*y(n)) - z(n)*cos(b*x(n))
  573.       y(n+1) = z(n)*sin(c*x(n)) - cos(d*y(n))
  574.       z(n+1) = sin(x(n))
  575.     Parameters: a, b, c, and d.
  576.  
  577. {=HT_PLASMA plasma}
  578. ~Label=HF_PLASMA
  579.     Random, cloud-like formations.  Requires 4 or more colors.
  580.     A recursive algorithm repeatedly subdivides the screen and
  581.     colors pixels according to an average of surrounding pixels
  582.     and a random color, less random as the grid size decreases.
  583.     Three parameters: 'graininess' (.5 to 50, default = 2), old/new
  584.     algorithm, seed value used.
  585.  
  586. {=HT_POPCORN popcorn}
  587. ~Label=HF_POPCORN
  588.     The orbits in two dimensions defined by:
  589.       x(0) = xpixel, y(0) = ypixel;
  590.       x(n+1) = x(n) - h*sin(y(n) + tan(3*y(n))
  591.       y(n+1) = y(n) - h*sin(x(n) + tan(3*x(n))
  592.     are plotted for each screen pixel and superimposed.
  593.     One parameter: step size h.
  594. ~OnlineFF
  595.  
  596. {=HT_POPCORN popcornjul}
  597. ~Label=HF_POPCJUL
  598.     Conventional Julia using the popcorn formula:
  599.       x(0) = xpixel, y(0) = ypixel;
  600.       x(n+1) = x(n) - h*sin(y(n) + tan(3*y(n))
  601.       y(n+1) = y(n) - h*sin(x(n) + tan(3*x(n))
  602.     One parameter: step size h.
  603.  
  604. {=HT_QUAT quatjul}
  605. ~Label=HF_QUATJ
  606.     Quaternion Julia set.
  607.       Q(0) = (xpixel,ypixel,0,0)
  608.       Q(n+1) = Q(n)*Q(n) + C.
  609.     Four parameters: c, ci, cj, ck
  610.     C = (c,ci,cj,ck)
  611.  
  612. {=HT_QUAT quat}
  613. ~Label=HF_QUAT
  614.     Quaternion Mandelbrot set.
  615.       Q(0) = 0
  616.       Q(n+1) = Q(n)*Q(n) + C.
  617.     Two parameters: cj,ck
  618.     C = (xpixel,ypixel,cj,ck)
  619.  
  620. {=HT_ROSS rossler3D}
  621. ~Label=HF_ROSS
  622.     Orbit in three dimensions defined by:
  623.       x(0) = y(0) = z(0) = 1;
  624.       x(n+1) = x(n) - y(n)*dt -   z(n)*dt
  625.       y(n+1) = y(n) + x(n)*dt + a*y(n)*dt
  626.       z(n+1) = z(n) + b*dt + x(n)*z(n)*dt - c*z(n)*dt
  627.     Parameters are dt, a, b, and c.
  628.  
  629. {=HT_SIER sierpinski}
  630. ~Label=HF_SIER
  631.     Sierpinski gasket - Julia set producing a 'Swiss cheese triangle'
  632.       z(n+1) = (2*x,2*y-1) if y > .5;
  633.       else (2*x-1,2*y) if x > .5;
  634.       else (2*x,2*y)
  635.     No parameters.
  636. ~OnlineFF
  637.  
  638. {=HT_SCOTSKIN spider}
  639. ~Label=HF_SPIDER
  640.       c(0) = z(0) = pixel;
  641.       z(n+1) = z(n)^2 + c(n);
  642.       c(n+1) = c(n)/2 + z(n+1)
  643.     Parameters: real & imaginary perturbation of z(0)
  644.  
  645. {=HT_SCOTSKIN sqr(1/fn)}
  646. ~Label=HF_SQROVFN
  647.       z(0) = pixel;
  648.       z(n+1) = (1/fn(z(n))^2
  649.     One parameter: the function fn.
  650.  
  651. {=HT_SCOTSKIN sqr(fn)}
  652. ~Label=HF_SQRFN
  653.       z(0) = pixel;
  654.       z(n+1) = fn(z(n))^2
  655.     One parameter: the function fn.
  656. ~OnlineFF
  657.  
  658. {=HT_TEST test}
  659. ~Label=HF_TEST
  660.     'test' point letting us (and you!) easily add fractal types via
  661.     the c module testpt.c.  Default set up is a mandelbrot fractal.
  662.     Four parameters: user hooks (not used by default testpt.c).
  663.  
  664. {=HT_SCOTSKIN tetrate}
  665. ~Label=HF_TETRATE
  666.       z(0) = c = pixel;
  667.       z(n+1) = c^z(n)
  668.     Parameters: real & imaginary perturbation of z(0)
  669.  
  670. {=HT_MARKS tim's_error}
  671. ~Label=HF_TIMSERR
  672.     A serendipitous coding error in marksmandelpwr brings to life
  673.     an ancient pterodactyl!  (Try setting fn to sqr.)
  674.       z(0) = pixel, c = z(0) ^ (z(0) - 1):
  675.       tmp = fn(z(n))
  676.       real(tmp) = real(tmp) * real(c) - imag(tmp) * imag(c);
  677.       imag(tmp) = real(tmp) * imag(c) - imag(tmp) * real(c);
  678.       z(n+1) = tmp + pixel;
  679.     Parameters: real & imaginary pertubations of z(0) and function fn
  680. ~OnlineFF
  681.  
  682. {=HT_UNITY unity}
  683. ~Label=HF_UNITY
  684.       z(0) = pixel;
  685.       x = real(z(n)), y = imag(z(n))
  686.       One = x^2 + y^2;
  687.       y = (2 - One) * x;
  688.       x = (2 - One) * y;
  689.       z(n+1) = x + i*y
  690.     No parameters.
  691. ~CompressSpaces+
  692. ;
  693. ;
  694. ;
  695. ~Topic=Fractal Types
  696.  
  697. A list of the fractal types and their mathematics can be found in the
  698. {Summary of Fractal Types}.  Some notes about how Fractint calculates
  699. them are in "A Little Code" in {"Fractals and the PC"}.
  700.  
  701. Fractint starts by default with the Mandelbrot set. You can change that by
  702. using the command-line argument "TYPE=" followed by one of the
  703. fractal type names, or by using the <T> command and
  704. selecting the type - if parameters are needed, you will be prompted for
  705. them.
  706.  
  707. In the text that follows, due to the limitations of the ASCII character
  708. set, "a*b" means "a times b", and "a^b" means "a to the power b".
  709.  
  710. ~Doc-
  711. Press <PageDown> for type selection list.
  712. ~FF
  713. Select a fractal type:
  714.  
  715. ~Table=40 2 0
  716. { The Mandelbrot Set }
  717. { Julia Sets }
  718. { Julia Inverse }
  719. { Newton domains of attraction }
  720. { Newton }
  721. { Complex Newton }
  722. { Lambda Sets }
  723. { Mandellambda Sets }
  724. { Plasma Clouds }
  725. { Lambdafn }
  726. { Mandelfn }
  727. { Barnsley Mandelbrot/Julia Sets }
  728. { Barnsley IFS Fractals }
  729. { Sierpinski Gasket }
  730. { Quartic Mandelbrot/Julia }
  731. { Distance Estimator }
  732. { Pickover Mandelbrot/Julia Types }
  733. { Pickover Popcorn }
  734. { Dynamic System }
  735. { Quaternion }
  736. { Peterson Variations }
  737. { Unity }
  738. { Circle }
  739. { Scott Taylor / Lee Skinner Variations }
  740. { Kam Torus }
  741. { Bifurcation }
  742. { Orbit Fractals }
  743. { Lorenz Attractors }
  744. { Rossler Attractors }
  745. { Henon Attractors }
  746. { Pickover Attractors }
  747. { Martin Attractors }
  748. { Gingerbreadman }
  749. { Test }
  750. { Formula }
  751. { Julibrots }
  752. { Diffusion Limited Aggregation }
  753. { Magnetic Fractals }
  754. { L-Systems }
  755. { Lyapunov Fractals }
  756. { fn||fn Fractals }
  757. { halley }
  758. { Cellular Automata }
  759. ~EndTable
  760. ~Doc+
  761. ;
  762. ;
  763. ~Topic=The Mandelbrot Set, Label=HT_MANDEL
  764. (type=mandel)
  765.  
  766. This set is the classic: the only one implemented in many plotting
  767. programs, and the source of most of the printed fractal images published
  768. in recent years. Like most of the other types in Fractint, it is simply a
  769. graph: the x (horizontal) and y (vertical) coordinate axes represent
  770. ranges of two independent quantities, with various colors used to
  771. symbolize levels of a third quantity which depends on the first two. So
  772. far, so good: basic analytic geometry.
  773.  
  774. Now things get a bit hairier. The x axis is ordinary, vanilla real
  775. numbers. The y axis is an imaginary number, i.e. a real number times i,
  776. where i is the square root of -1. Every point on the plane -- in this
  777. case, your PC's display screen -- represents a complex number of the form:
  778.  
  779.     x-coordinate + i * y-coordinate
  780.  
  781. If your math training stopped before you got to imaginary and complex
  782. numbers, this is not the place to catch up. Suffice it to say that they
  783. are just as "real" as the numbers you count fingers with (they're used
  784. every day by electrical engineers) and they can undergo the same kinds of
  785. algebraic operations.
  786.  
  787. OK, now pick any complex number -- any point on the complex plane -- and
  788. call it C, a constant. Pick another, this time one which can vary, and
  789. call it Z. Starting with Z=0 (i.e., at the origin, where the real and
  790. imaginary axes cross), calculate the value of the expression
  791.  
  792.     Z^2 + C
  793.  
  794. Take the result, make it the new value of the variable Z, and calculate
  795. again. Take that result, make it Z, and do it again, and so on: in
  796. mathematical terms, iterate the function Z(n+1) = Z(n)^2 + C. For certain
  797. values of C, the result "levels off" after a while. For all others, it
  798. grows without limit. The Mandelbrot set you see at the start -- the solid-
  799. colored lake (blue by default), the blue circles sprouting from it, and
  800. indeed every point of that color -- is the set of all points C for which
  801. the value of Z is less than 2 after 150 iterations (150 is the default setting,
  802. changeable via the <X> options screen or "maxiter=" parameter).
  803. All the surrounding "contours" of other colors represent points for which Z
  804. exceeds 2 after 149 iterations (the contour closest to the M-set itself),
  805. 148 iterations, (the next one out), and so on.
  806.  
  807. We actually don't test for Z exceeding 2 - we test Z squared against 4
  808. instead because it is easier.  This value (FOUR usually) is known as the
  809. "bailout" value for the calculation, because we stop iterating for the
  810. point when it is reached.  The bailout value can be changed on the <Z>
  811. options screen but the default is usually best.
  812.  
  813. Some features of interest:
  814.  
  815. 1. Use the <X> options screen to increase the maximum number of iterations.
  816. Notice that the boundary of the M-set becomes more and more convoluted (the
  817. technical terms are "wiggly," "squiggly," and "utterly bizarre") as the Z-
  818. values for points that were still within the set after 150 iterations turn
  819. out to exceed 2 after 200, 500, or 1200. In fact, it can be proven that
  820. the true boundary is infinitely long: detail without limit.
  821.  
  822. 2. Although there appear to be isolated "islands" of blue, zoom in -- that
  823. is, plot for a smaller range of coordinates to show more detail -- and
  824. you'll see that there are fine "causeways" of blue connecting them to the
  825. main set. As you zoomed, smaller islands became visible; the same is true
  826. for them. In fact, there are no isolated points in the M-set: it is
  827. "connected" in a strict mathematical sense.
  828.  
  829. 3. The upper and lower halves of the first image are symmetric (a fact
  830. that Fractint makes use of here and in some other fractal types to speed
  831. plotting). But notice that the same general features -- lobed discs,
  832. spirals, starbursts -- tend to repeat themselves (although never exactly)
  833. at smaller and smaller scales, so that it can be impossible to judge by
  834. eye the scale of a given image.
  835.  
  836. 4. In a sense, the contour colors are window-dressing: mathematically, it
  837. is the properties of the M-set itself that are interesting, and no
  838. information about it would be lost if all points outside the set were
  839. assigned the same color. If you're a serious, no-nonsense type, you may
  840. want to cycle the colors just once to see the kind of silliness that other
  841. people enjoy, and then never do it again. Go ahead. Just once, now. We
  842. trust you.
  843. ;
  844. ;
  845. ~Topic=Julia Sets, Label=HT_JULIA
  846. (type=julia)
  847.  
  848. These sets were named for mathematician Gaston Julia, and can be generated
  849. by a simple change in the iteration process described for the
  850. {=HT_MANDEL Mandelbrot Set}.  Start with a
  851. specified value of C, "C-real + i * C-imaginary"; use as the initial value
  852. of Z "x-coordinate + i * y-coordinate"; and repeat the same iteration,
  853. Z(n+1) = Z(n)^2 + C.
  854.  
  855. There is a Julia set corresponding to every point on the complex plane --
  856. an infinite number of Julia sets. But the most visually interesting tend
  857. to be found for the same C values where the M-set image is busiest, i.e.
  858. points just outside the boundary. Go too far inside, and the corresponding
  859. Julia set is a circle; go too far outside, and it breaks up into scattered
  860. points. In fact, all Julia sets for C within the M-set share the
  861. "connected" property of the M-set, and all those for C outside lack it.
  862.  
  863. Fractint's spacebar toggle lets you "flip" between any view of the M-set
  864. and the Julia set for the point C at the center of that screen. You can
  865. then toggle back, or zoom your way into the Julia set for a while and then
  866. return to the M-set. So if the infinite complexity of the M-set palls,
  867. remember: each of its infinite points opens up a whole new Julia set.
  868.  
  869. Historically, the Julia sets came first: it was while looking at the M-set
  870. as an "index" of all the Julia sets' origins that Mandelbrot noticed its
  871. properties.
  872.  
  873. The relationship between the {=HT_MANDEL Mandelbrot} set and Julia set can
  874. hold between
  875. other sets as well.  Many of Fractint's types are "Mandelbrot/Julia" pairs
  876. (sometimes called "M-sets" or "J-sets". All these are generated by
  877. equations that are of the form z(k+1) = f(z(k),c), where the function
  878. orbit is the sequence z(0), z(1), ..., and the variable c is a complex
  879. parameter of the equation. The value c is fixed for "Julia" sets and is
  880. equal to the first two parameters entered with the "params=Creal/Cimag"
  881. command. The initial orbit value z(0) is the complex number corresponding
  882. to the screen pixel. For Mandelbrot sets, the parameter c is the complex
  883. number corresponding to the screen pixel. The value z(0) is c plus a
  884. perturbation equal to the values of the first two parameters.  See
  885. the discussion of {=HT_MLAMBDA Mandellambda Sets}.
  886. This approach may or may not be the
  887. "standard" way to create "Mandelbrot" sets out of "Julia" sets.
  888.  
  889. Some equations have additional parameters.  These values is entered as the
  890. third for fourth params= value for both Julia and Mandelbrot sets. The
  891. variables x and y refer to the real and imaginary parts of z; similarly,
  892. cx and cy are the real and imaginary parts of the parameter c and fx(z)
  893. and fy(z) are the real and imaginary parts of f(z). The variable c is
  894. sometimes called lambda for historical reasons.
  895.  
  896. NOTE: if you use the "PARAMS=" argument to warp the M-set by starting with
  897. an initial value of Z other than 0, the M-set/J-sets correspondence breaks
  898. down and the spacebar toggle no longer works.
  899. ;
  900. ;
  901. ~Topic=Julia Inverse, Label=HT_INVERSE
  902. (type=julia_inverse)
  903.  
  904. The traditional Julia set may be though of as the result of an orbit
  905. under the influence of two kinds of opposing attractors: infinity, and 
  906. attractors in the interior of the Julia set. The chaos at the boundary
  907. of the Julia set is due to the near-balance between these two attractors.
  908.  
  909. The inverse of the Julia orbit function has the opposite characteristic:
  910. the orbit is *repelled* by infinity and the "attractors" in the interior.
  911. Hence all points gravitate toward the boundary. If the inverse of the
  912. classic z^2 + C Mandelbrot/Julia equation is plugged into the Lorenz-type
  913. orbit mechanism, and the orbit is plotted, it very rapidly maps out the 
  914. boundary of the Julia set. This inverse formula has two values depending
  915. on whether the positive or negative square root is taken. The formulas are:
  916.  
  917.        z(n+1) = + sqrt(z(n) - c)
  918. and
  919.        z(n+1) = - sqrt(z(n) - c)
  920.  
  921. One of these is randomly chosen each iteration.
  922.  
  923. This same method can be used with any generalized Julia set for which the
  924. inverse of the orbit function can be calculated.
  925.  
  926. The <J> key toggles between the Julia Inverse orbit and the corresponding
  927. Julia escape time fractal.
  928. ;
  929. ;
  930. ~Topic=Newton domains of attraction, Label=HT_NEWTBAS
  931. (type=newtbasin)
  932.  
  933. The Newton formula is an algorithm used to find the roots of polynomial
  934. equations by successive "guesses" that converge on the correct value as
  935. you feed the results of each approximation back into the formula. It works
  936. very well -- unless you are unlucky enough to pick a value that is on a
  937. line BETWEEN two actual roots. In that case, the sequence explodes into
  938. chaos, with results that diverge more and more wildly as you continue the
  939. iteration.
  940.  
  941. This fractal type shows the results for the polynomial Z^n - 1, which has
  942. n roots in the complex plane. Use the <T>ype command and enter "newtbasin"
  943. in response to the prompt. You will be asked for a parameter, the "order"
  944. of the equation (an integer from 3 through 10 -- 3 for x^3-1, 7 for x^7-1,
  945. etc.). A second parameter is a flag to turn on alternating shades showing
  946. changes in the number of iterations needed to attract an orbit. Some
  947. people like stripes and some don't, as always, Fractint gives you a
  948. choice!
  949.  
  950. The coloring of the plot shows the "basins of attraction" for each root of
  951. the polynomial -- i.e., an initial guess within any area of a given color
  952. would lead you to one of the roots. As you can see, things get a bit weird
  953. along certain radial lines or "spokes," those being the lines between
  954. actual roots. By "weird," we mean infinitely complex in the good old
  955. fractal sense. Zoom in and see for yourself.
  956.  
  957. This fractal type is symmetric about the origin, with the number of
  958. "spokes" depending on the order you select. It uses floating-point math if
  959. you have an FPU, or a somewhat slower integer algorithm if you don't have
  960. one.
  961. ~Doc-
  962.  
  963. See also: {Newton}
  964. ~Doc+
  965. ;
  966. ;
  967. ~Topic=Newton, Label=HT_NEWT
  968. (type=newton)
  969.  
  970. The generating formula here is identical to that for {=HT_NEWTBAS newtbasin},
  971. but the
  972. coloring scheme is different. Pixels are colored not according to the root
  973. that would be "converged on" if you started using Newton's formula from
  974. that point, but according to the iteration when the value is close to a
  975. root.  For example, if the calculations for a particular pixel converge to
  976. the 7th root on the 23rd iteration, NEWTBASIN will color that pixel using
  977. color #7, but NEWTON will color it using color #23.
  978.  
  979. If you have a 256-color mode, use it: the effects can be much livelier
  980. than those you get with type=newtbasin, and color cycling becomes, like,
  981. downright cosmic. If your "corners" choice is symmetrical, Fractint
  982. exploits the symmetry for faster display. There is symmetry in newtbasin,
  983. too, but the current version of the software isn't smart enough to exploit
  984. it.
  985.  
  986. The applicable "params=" values are the same as newtbasin. Try "params=4."
  987. Other values are 3 through 10. 8 has twice the symmetry and is faster. As
  988. with newtbasin, an FPU helps.
  989. ;
  990. ;
  991. ~Topic=Complex Newton, Label=HT_NEWTCMPLX
  992. (type=complexnewton/complexbasin)
  993.  
  994. Well, hey, "Z^n - 1" is so boring when you can use "Z^a - b" where "a" and
  995. "b" are complex numbers!  The new "complexnewton" and "complexbasin"
  996. fractal types are just the old {=HT_NEWT "newton"} and
  997. {=HT_NEWTBAS "newtbasin"} fractal types with
  998. this little added twist.  When you select these fractal types, you are
  999. prompted for four values (the real and imaginary portions of "a" and "b").
  1000. If "a" has a complex portion, the fractal has a discontinuity along the
  1001. negative axis - relax, we finally figured out that it's *supposed* to be
  1002. there!
  1003. ;
  1004. ;
  1005. ~Topic=Lambda Sets, Label=HT_LAMBDA
  1006. (type=lambda)
  1007.  
  1008. This type calculates the Julia set of the formula lambda*Z*(1-Z). That is,
  1009. the value Z[0] is initialized with the value corresponding to each pixel
  1010. position, and the formula iterated. The pixel is colored according to the
  1011. iteration when the sum of the squares of the real and imaginary parts
  1012. exceeds 4.
  1013.  
  1014. Two parameters, the real and imaginary parts of lambda, are required. Try
  1015. 0 and 1 to see the classical fractal "dragon". Then try 0.2 and 1 for a
  1016. lot more detail to zoom in on.
  1017.  
  1018. It turns out that all quadratic Julia-type sets can be calculated using
  1019. just the formula z^2+c (the "classic" Julia"), so that this type is
  1020. redundant, but we include it for reason of it's prominence in the history
  1021. of fractals.
  1022. ;
  1023. ;
  1024. ~Topic=Mandellambda Sets, Label=HT_MLAMBDA
  1025. (type=mandellambda)
  1026.  
  1027. This type is the "Mandelbrot equivalent" of the {=HT_LAMBDA lambda} set.
  1028. A comment is
  1029. in order here. Almost all the Fractint "Mandelbrot" sets are created from
  1030. orbits generated using formulas like z(n+1) = f(z(n),C), with z(0) and C
  1031. initialized to the complex value corresponding to the current pixel. Our
  1032. reasoning was that "Mandelbrots" are maps of the corresponding "Julias".
  1033. Using this scheme each pixel of a "Mandelbrot" is colored the same as the
  1034. Julia set corresponding to that pixel. However, Kevin Allen informs us
  1035. that the MANDELLAMBDA set appears in the literature with z(0) initialized
  1036. to a critical point (a point where the derivative of the formula is zero),
  1037. which in this case happens to be the point (.5,0). Since Kevin knows more
  1038. about Dr. Mandelbrot than we do, and Dr. Mandelbrot knows more about
  1039. fractals than we do, we defer! Starting with version 14 Fractint
  1040. calculates MANDELAMBDA Dr. Mandelbrot's way instead of our way. But ALL
  1041. THE OTHER "Mandelbrot" sets in Fractint are still calculated OUR way!
  1042. (Fortunately for us, for the classic Mandelbrot Set these two methods are
  1043. the same!)
  1044.  
  1045. Well now, folks, apart from questions of faithfulness to fractals named in
  1046. the literature (which we DO take seriously!), if a formula makes a
  1047. beautiful fractal, it is not wrong. In fact some of the best fractals in
  1048. Fractint are the results of mistakes! Nevertheless, thanks to Kevin for
  1049. keeping us accurate!
  1050.  
  1051. (See description of "initorbit=" command in {Image Calculation Parameters}
  1052. for a way to experiment with different orbit intializations).
  1053. ;
  1054. ;
  1055. ~Topic=Circle, Label=HT_CIRCLE
  1056. (type=circle)
  1057.  
  1058. This fractal types is from A. K. Dewdney's "Computer Recreations" column
  1059. in "Scientific American". It is attributed to John Connett of the 
  1060. University of Minnesota.
  1061.  
  1062. (Don't tell anyone, but this fractal type is not really a fractal!)
  1063.  
  1064. Fascinating Moire patterns can be formed by calculating x^2 + y^2 for
  1065. each pixel in a piece of the complex plane. After multiplication by a 
  1066. magnification factor (the parameter), the number is truncated to an integer 
  1067. and mapped to a color via color = value modulo (number of colors). That is, 
  1068. the integer is divided by the number of colors, and the remainder is the 
  1069. color index value used.  The resulting image is not a fractal because all 
  1070. detail is lost after zooming in too far. Try it with different resolution 
  1071. video modes - the results may surprise you!
  1072. ;
  1073. ;
  1074. ~Topic=Plasma Clouds, Label=HT_PLASMA
  1075. (type=plasma)
  1076.  
  1077. Plasma clouds ARE real live fractals, even though we didn't know it at
  1078. first. They are generated by a recursive algorithm that randomly picks
  1079. colors of the corner of a rectangle, and then continues recursively
  1080. quartering previous rectangles. Random colors are averaged with those of
  1081. the outer rectangles so that small neighborhoods do not show much change,
  1082. for a smoothed-out, cloud-like effect. The more colors your video mode
  1083. supports, the better.  The result, believe it or not, is a fractal
  1084. landscape viewed as a contour map, with colors indicating constant
  1085. elevation.  To see this, save and view with the <3> command
  1086. (see {\"3D\" Images})
  1087. and your "cloud" will be converted to a mountain!
  1088.  
  1089. You've GOT to try {=@ColorCycling color cycling} on these (hit "+" or "-").
  1090. If you
  1091. haven't been hypnotized by the drawing process, the writhing colors will
  1092. do it for sure. We have now implemented subliminal messages to exploit the
  1093. user's vulnerable state; their content varies with your bank balance,
  1094. politics, gender, accessibility to a Fractint programmer, and so on. A
  1095. free copy of Microsoft C to the first person who spots them.
  1096.  
  1097. This type accepts three parameters.
  1098.  
  1099. The first determines how abruptly the colors change. A value of .5 yields
  1100. bland clouds, while 50 yields very grainy ones. The default value is 2.
  1101.  
  1102. The second determines whether to use the original algorithm (0) or a
  1103. modified one (1). The new one gives the same type of images but draws
  1104. the dots in a different order. It will let you see
  1105. what the final image will look like much sooner than the old one.
  1106. It will also let you regenerate a plasma cloud at a different
  1107. resolution if the original was done with the new algorithm.
  1108.  
  1109. The third determines whether to use a new seed for generating the
  1110. next plasma cloud (0) or to use the previous seed (1).
  1111.  
  1112. With parameter two and three set to ones, the next plasma cloud
  1113. generated will be identical to the previous but at whatever new
  1114. resolution was desired.
  1115.  
  1116. Zooming is ignored, as each plasma-cloud screen is generated randomly.
  1117.  
  1118. The random number seed used for each plasma image is displayed on the
  1119. <tab> information screen, and can be entered with the command line
  1120. parameter "rseed=" to recreate a particular image. If parameter 2 is set 
  1121. to 0 the image will only be recreatable at the original resolution. If
  1122. parameter 2 is set to 1 it will be recreatable at any resolution.
  1123.  
  1124. The algorithm is based on the Pascal program distributed by Bret Mulvey as
  1125. PLASMA.ARC. We have ported it to C and integrated it with Fractint's
  1126. graphics and animation facilities. This implementation does not use
  1127. floating-point math.
  1128.  
  1129. Saved plasma-cloud screens are EXCELLENT starting images for fractal
  1130. "landscapes" created with the {\"3D\" commands}.
  1131. ;
  1132. ;
  1133. ~Topic=Lambdafn, Label=HT_LAMBDAFN
  1134. (type=lambdafn)
  1135.  
  1136. Function=[sin|cos|sinh|cosh|exp|log|sqr|...]) is specified with this type.
  1137. Prior to version 14, these types were lambdasine, lambdacos, lambdasinh,
  1138. lambdacos, and lambdaexp.  Where we say "lambdasine" or some such below,
  1139. the good reader knows we mean "lambdafn with function=sin".)
  1140.  
  1141. These types calculate the Julia set of the formula lambda*fn(Z), for
  1142. various values of the function "fn", where lambda and Z are both complex.
  1143. Two values, the real and imaginary parts of lambda, should be given in the
  1144. "params=" option.  For the feathery, nested spirals of LambdaSines and the
  1145. frost-on-glass patterns of LambdaCosines, make the real part = 1, and try
  1146. values for the imaginary part ranging from 0.1 to 0.4 (hint: values near
  1147. 0.4 have the best patterns). In these ranges the Julia set "explodes". For
  1148. the tongues and blobs of LambdaExponents, try a real part of 0.379 and an
  1149. imaginary part of 0.479.
  1150.  
  1151. A co-processor used to be almost mandatory: each LambdaSine/Cosine
  1152. iteration calculates a hyperbolic sine, hyperbolic cosine, a sine, and a
  1153. cosine (the LambdaExponent iteration "only" requires an exponent, sine,
  1154. and cosine operation)!    However, Fractint now computes these
  1155. transcendental functions with fast integer math. In a few cases the fast
  1156. math is less accurate, so we have kept the old slow floating point code.
  1157. To use the old code, invoke with the float=yes option, and, if you DON'T
  1158. have a co-processor, go on a LONG vacation!
  1159. ;
  1160. ;
  1161. ~Topic=halley, Label=HT_HALLEY
  1162. (type=halley)
  1163.  
  1164. The Halley map is an algorithm used to find the roots of polynomial
  1165. equations by successive "guesses" that converge on the correct value as
  1166. you feed the results of each approximation back into the formula. It works
  1167. very well -- unless you are unlucky enough to pick a value that is on a
  1168. line BETWEEN two actual roots. In that case, the sequence explodes into
  1169. chaos, with results that diverge more and more wildly as you continue the
  1170. iteration.
  1171.  
  1172. This fractal type shows the results for the polynomial Z(Z^a - 1), which
  1173. has a+1 roots in the complex plane. Use the <T>ype command and enter
  1174. "halley" in response to the prompt. You will be asked for a parameter, the
  1175. "order" of the equation (an integer from 2 through 10 -- 2 for Z(Z^2 - 1),
  1176. 7 for Z(Z^7 - 1), etc.). A second parameter is the relaxation coefficient,
  1177. and is used to control the convergence stability. A number greater than
  1178. one increases the chaotic behavior and a number less than one decreases the
  1179. chaotic behavior. The third parameter is the value used to determine when
  1180. the formula has converged. The test for convergence is
  1181. ||Z(n+1)|^2 - |Z(n)|^2| < epsilon. This convergence test produces the
  1182. whisker-like projections which generally point to a root.
  1183.  
  1184. Currently, a math coprocessor is needed to view the Halley maps. The integer
  1185. form of the equations use MP-Math and do not currently work correctly.
  1186. ;
  1187. ;
  1188. ~Topic=fn||fn Fractals, Label=HT_FNORFN
  1189. (type=lambda(fn||fn), manlam(fn||fn), julia(fn||fn), mandel(fn||fn))
  1190.  
  1191. Two functions=[sin|cos|sinh|cosh|exp|log|sqr|...]) are specified with
  1192. these types.  The two functions are alternately used in the calculation
  1193. based on a comparison between the modulus of the current Z and the
  1194. shift value.  The first function is used if the modulus of Z is less
  1195. than the shift value and the second function is used otherwise.
  1196.  
  1197. The lambda(fn||fn) type calculates the Julia set of the formula
  1198. lambda*fn(Z), for various values of the function "fn", where lambda
  1199. and Z are both complex.  Two values, the real and imaginary parts of
  1200. lambda, should be given in the "params=" option.  The third value is
  1201. the shift value.  The space bar will generate the corresponding
  1202. "psuedo Mandelbrot" set, manlam(fn||fn).
  1203.  
  1204. The manlam(fn||fn) type calculates the "psuedo Mandelbrot" set of the
  1205. formula fn(Z)*C, for various values of the function "fn", where C
  1206. and Z are both complex.  Two values, the real and imaginary parts of
  1207. Z(0), should be given in the "params=" option.  The third value is
  1208. the shift value.  The space bar will generate the corresponding
  1209. julia set, lamda(fn||fn).
  1210.  
  1211. The julia(fn||fn) type calculates the Julia set of the formula
  1212. fn(Z)+C, for various values of the function "fn", where C
  1213. and Z are both complex.  Two values, the real and imaginary parts of
  1214. C, should be given in the "params=" option.  The third value is
  1215. the shift value.  The space bar will generate the corresponding
  1216. mandelbrot set, mandel(fn||fn).
  1217.  
  1218. The mandel(fn||fn) type calculates the Mandelbrot set of the formula
  1219. fn(Z)+C, for various values of the function "fn", where C
  1220. and Z are both complex.  Two values, the real and imaginary parts of
  1221. Z(0), should be given in the "params=" option.  The third value is
  1222. the shift value.  The space bar will generate the corresponding
  1223. julia set, julia(fn||fn).
  1224. ;
  1225. ;
  1226. ~Topic=Mandelfn, Label=HT_MANDFN
  1227. (type=mandelfn)
  1228.  
  1229. Function=[sin|cos|sinh|cosh|exp|log|sqr|...]) is specified with this type.
  1230. Prior to version 14, these types were mandelsine, mandelcos, mandelsinh,
  1231. mandelcos, and mandelexp. Same comment about our lapses into the old
  1232. terminology as above!
  1233.  
  1234. These are "pseudo-Mandelbrot" mappings for the {=HT_LAMBDAFN LambdaFn}
  1235. Julia functions.
  1236. They map to their corresponding Julia sets via the spacebar command in
  1237. exactly the same fashion as the original M/J sets.  In general, they are
  1238. interesting mainly because of that property (the function=exp set in
  1239. particular is rather boring). Generate the appropriate "Mandelfn" set,
  1240. zoom on a likely spot where the colors are changing rapidly, and hit the
  1241. spacebar key to plot the Julia set for that particular point.
  1242.  
  1243. Try "FRACTINT TYPE=MANDELFN CORNERS=4.68/4.76/-.03/.03 FUNCTION=COS" for a
  1244. graphic demonstration that we're not taking Mandelbrot's name in vain
  1245. here. We didn't even know these little buggers were here until Mark
  1246. Peterson found this a few hours before the version incorporating Mandelfns
  1247. was released.
  1248.  
  1249. Note: If you created images using the lambda or mandel "fn" types prior to
  1250. version 14, and you wish to update the fractal information in the "*.fra"
  1251. file, simply read the files and save again. You can do this in batch mode
  1252. via a command line like:
  1253.  
  1254.      "fractint oldfile.fra savename=newfile.gif batch=yes"
  1255.  
  1256. For example, this procedure can convert a version 13 "type=lambdasine"
  1257. image to a version 14 "type=lambdafn function=sin" GIF89a image.  We do
  1258. not promise to keep this "backward compatibility" past version 14 - if you
  1259. want to keep the fractal information in your *.fra files accurate, we
  1260. recommend conversion.  See {GIF Save File Format}.
  1261. ;
  1262. ;
  1263. ~Topic=Barnsley Mandelbrot/Julia Sets, Label=HT_BARNS
  1264. (type=barnsleym1/.../j3)
  1265.  
  1266. Michael Barnsley has written a fascinating college-level text, "Fractals
  1267. Everywhere," on fractal geometry and its graphic applications. (See
  1268. {Bibliography}.) In it, he applies the principle of the M and J
  1269. sets to more general functions of two complex variables.
  1270.  
  1271. We have incorporated three of Barnsley's examples in Fractint. Their
  1272. appearance suggests polarized-light microphotographs of minerals, with
  1273. patterns that are less organic and more crystalline than those of the M/J
  1274. sets. Each example has both a "Mandelbrot" and a "Julia" type. Toggle
  1275. between them using the spacebar.
  1276.  
  1277. The parameters have the same meaning as they do for the "regular"
  1278. Mandelbrot and Julia. For types M1, M2, and M3, they are used to "warp"
  1279. the image by setting the initial value of Z. For the types J1 through J3,
  1280. they are the values of C in the generating formulas.
  1281.  
  1282. Be sure to try the <O>rbit function while plotting these types.
  1283. ;
  1284. ;
  1285. ~Topic=Barnsley IFS Fractals, Label=HT_IFS
  1286. (type=ifs)
  1287.  
  1288. One of the most remarkable spin-offs of fractal geometry is the ability to
  1289. "encode" realistic images in very small sets of numbers -- parameters for
  1290. a set of functions that map a region of two-dimensional space onto itself.
  1291. In principle (and increasingly in practice), a scene of any level of
  1292. complexity and detail can be stored as a handful of numbers, achieving
  1293. amazing "compression" ratios... how about a super-VGA image of a forest,
  1294. more than 300,000 pixels at eight bits apiece, from a 1-KB "seed" file?
  1295.  
  1296. Again, Michael Barnsley and his co-workers at the Georgia Institute of
  1297. Technology are to be thanked for pushing the development of these iterated
  1298. function systems (IFS).
  1299.  
  1300. When you select this fractal type, Fractint scans the current IFS file
  1301. (default is FRACTINT.IFS, a set of definitions supplied with Fractint) for
  1302. IFS definitions, then prompts you for the IFS name you wish to run. Fern
  1303. and 3dfern are good ones to start with. You can press <F6> at the
  1304. selection screen if you want to select a different .IFS file you've
  1305. written.
  1306.  
  1307. Note that some Barnsley IFS values generate images quite a bit smaller
  1308. than the initial (default) screen. Just bring up the zoom box, center it
  1309. on the small image, and hit <Enter> to get a full-screen image.
  1310.  
  1311. To change the number of dots Fractint generates for an IFS image before
  1312. stopping, you can change the "maximum iterations" parameter on the <X>
  1313. options screen.
  1314.  
  1315. Fractint supports two types of IFS images: 2D and 3D. In order to fully
  1316. appreciate 3D IFS images, since your monitor is presumably 2D, we have
  1317. added rotation, translation, and perspective capabilities. These share
  1318. values with the same variables used in Fractint's other 3D facilities; for
  1319. their meaning see {"Rectangular Coordinate Transformation"}.
  1320. You can enter these values from the command line using:
  1321.  
  1322. rotation=xrot/yrot/zrot       (try 30/30/30)\
  1323. shift=xshift/yshift          (shifts BEFORE applying perspective!)\
  1324. perspective=viewerposition    (try 200)\
  1325.  
  1326. Alternatively, entering <I> from main screen will allow you to modify
  1327. these values. The defaults are the same as for regular 3D, and are not
  1328. always optimum for 3D IFS. With the 3dfern IFS type, try
  1329. rotation=30/30/30. Note that applying shift when using perspective changes
  1330. the picture -- your "point of view" is moved.
  1331.  
  1332. A truly wild variation of 3D may be seen by entering "2" for the stereo
  1333. mode (see {"Stereo 3D Viewing"}),
  1334. putting on red/blue "funny glasses", and watching the fern develop
  1335. with full depth perception right there before your eyes!
  1336.  
  1337. This feature USED to be dedicated to Bruce Goren, as a bribe to get him to
  1338. send us MORE knockout stereo slides of 3D ferns, now that we have made it
  1339. so easy! Bruce, what have you done for us *LATELY* ?? (Just kidding,
  1340. really!)
  1341.  
  1342. Each line in an IFS definition (look at FRACTINT.IFS with your editor for
  1343. examples) contains the parameters for one of the generating functions,
  1344. e.g. in FERN:
  1345. ~Format-
  1346.    a    b     c    d    e    f      p
  1347.  ___________________________________
  1348.    0     0    0  .16    0    0     .01
  1349.  .85   .04 -.04  .85    0  1.6     .85
  1350.  .2   -.26  .23  .22    0  1.6     .07
  1351. -.15   .28  .26  .24    0  .44     .07
  1352.  
  1353. The values on each line define a matrix, vector, and probability:
  1354.     matrix   vector  prob
  1355.     |a b|     |e|     p
  1356.     |c d|     |f|
  1357. ~Format+
  1358.  
  1359. The "p" values are the probabilities assigned to each function (how often
  1360. it is used), which add up to one. Fractint supports up to 32 functions,
  1361. although usually three or four are enough.
  1362.  
  1363. 3D IFS definitions are a bit different.  The name is followed by (3D) in
  1364. the definition file, and each line of the definition contains 13 numbers:
  1365. a b c d e f g h i j k l p, defining:
  1366.     matrix   vector  prob\
  1367.     |a b c|   |j|     p\
  1368.     |d e f|   |k|\
  1369.     |g h i|   |l|\
  1370.  
  1371. You can experiment with changes to IFS definitions interactively by using
  1372. Fractint's <Z> command.  After selecting an IFS definition, hit <Z> to
  1373. bring up the IFS editor. This editor displays the current IFS values, lets
  1374. you modify them, and lets you save your modified values as a text file
  1375. which you can then merge into an XXX.IFS file for future use with
  1376. Fractint.
  1377.  
  1378. The program FDESIGN can be used to design IFS fractals - see
  1379. {=@FDESIGN FDESIGN}.
  1380.  
  1381. You can save the points in your IFS fractal in the file ORBITS.RAW which is
  1382. overwritten each time a fractal is generated. The program Acrospin can
  1383. read this file and will let you view the fractal from in any angle using
  1384. the cursor keys. See {=@ACROSPIN Acrospin}.
  1385. ;
  1386. ;
  1387. ~Topic=Sierpinski Gasket, Label=HT_SIER
  1388. (type=sierpinski)
  1389.  
  1390. Another pre-Mandelbrot classic, this one found by W. Sierpinski around
  1391. World War I. It is generated by dividing a triangle into four congruent
  1392. smaller triangles, doing the same to each of them, and so on, yea, even
  1393. unto infinity. (Notice how hard we try to avoid reiterating "iterating"?)
  1394.  
  1395. If you think of the interior triangles as "holes", they occupy more and
  1396. more of the total area, while the "solid" portion becomes as hopelessly
  1397. fragile as that gasket you HAD to remove without damaging it -- you
  1398. remember, that Sunday afternoon when all the parts stores were closed?
  1399. There's a three-dimensional equivalent using nested tetrahedrons instead
  1400. of triangles, but it generates too much pyramid power to be safely
  1401. unleashed yet.
  1402.  
  1403. There are no parameters for this type. We were able to implement it with
  1404. integer math routines, so it runs fairly quickly even without an FPU.
  1405. ;
  1406. ;
  1407. ~Topic=Quartic Mandelbrot/Julia, Label=HT_MANDJUL4
  1408. (type=mandel4/julia4)
  1409.  
  1410. These fractal types are the moral equivalent of the original M and J sets,
  1411. except that they use the formula Z(n+1) = Z(n)^4 + C, which adds
  1412. additional pseudo-symmetries to the plots. The "Mandel4" set maps to the
  1413. "Julia4" set via -- surprise! -- the spacebar toggle. The M4 set is kind
  1414. of boring at first (the area between the "inside" and the "outside" of the
  1415. set is pretty thin, and it tends to take a few zooms to get to any
  1416. interesting sections), but it looks nice once you get there. The Julia
  1417. sets look nice right from the start.
  1418.  
  1419. Other powers, like Z(n)^3 or Z(n)^7, work in exactly the same fashion. We
  1420. used this one only because we're lazy, and Z(n)^4 = (Z(n)^2)^2.
  1421. ;
  1422. ;
  1423. ~Topic=Distance Estimator
  1424. (distest=nnn/nnn)
  1425.  
  1426. This used to be type=demm and type=demj.  These types have not died, but
  1427. are only hiding!  They are equivalent to the mandel and julia types with
  1428. the "distest=" option selected with a predetermined value.
  1429.  
  1430. The {Distance Estimator Method}
  1431. can be used to produce higher quality images of M and J sets,
  1432. especially suitable for printing in black and white.
  1433.  
  1434. If you have some *.fra files made with the old types demm/demj, you may
  1435. want to convert them to the new form.  See the {=HT_MANDFN Mandelfn}
  1436. section for directions to carry out the conversion.
  1437. ;
  1438. ;
  1439. ~Topic=Pickover Mandelbrot/Julia Types, Label=HT_PICKMJ
  1440. (type=manfn+zsqrd/julfn+zsqrd, manzpowr/julzpowr, manzzpwr/julzzpwr,
  1441. manfn+exp/julfn+exp - formerly included man/julsinzsqrd and
  1442. man/julsinexp which have now been generalized)
  1443.  
  1444. These types have been explored by Clifford A. Pickover, of the IBM Thomas
  1445. J. Watson Research center. As implemented in Fractint, they are regular
  1446. Mandelbrot/Julia set pairs that may be plotted with or without the
  1447. {=@Biomorphs "biomorph"} option Pickover used to create organic-looking
  1448. beasties (see
  1449. below). These types are produced with formulas built from the functions
  1450. z^z, z^n, sin(z), and e^z for complex z. Types with "power" or "pwr" in
  1451. their name have an exponent value as a third parameter. For example,
  1452. type=manzpower params=0/0/2 is our old friend the classical Mandelbrot,
  1453. and type=manzpower params=0/0/4 is the Quartic Mandelbrot. Other values of
  1454. the exponent give still other fractals.  Since these WERE the original
  1455. "biomorph" types, we should give an example.  Try:
  1456.  
  1457.     FRACTINT type=manfn+zsqrd biomorph=0 corners=-8/8/-6/6 function=sin
  1458.  
  1459. to see a big biomorph digesting little biomorphs!
  1460. ;
  1461. ;
  1462. ~Topic=Pickover Popcorn, Label=HT_POPCORN
  1463. (type=popcorn/popcornjul)
  1464.  
  1465. Here is another Pickover idea. This one computes and plots the orbits of
  1466. the dynamic system defined by:
  1467.  
  1468.      x(n+1) = x(n) - h*sin(y(n)+tan(3*y(n))\
  1469.      y(n+1) = y(n) - h*sin(x(n)+tan(3*x(n))\
  1470.  
  1471. with the initializers x(0) and y(0) equal to ALL the complex values within
  1472. the "corners" values, and h=.01.  ALL these orbits are superimposed,
  1473. resulting in "popcorn" effect.  You may want to use a maxiter value less
  1474. than normal - Pickover recommends a value of 50.  As a bonus,
  1475. type=popcornjul shows the Julia set generated by these same equations with
  1476. the usual escape-time coloring. Turn on orbit viewing with the "O"
  1477. command, and as you watch the orbit pattern you may get some insight as to
  1478. where the popcorn comes from. Although you can zoom and rotate popcorn,
  1479. the results may not be what you'd expect, due to the superimposing of
  1480. orbits and arbitrary use of color. Just for fun we added type popcornjul,
  1481. which is the plain old Julia set calculated from the same formula.
  1482. ;
  1483. ;
  1484. ~Topic=Dynamic System, Label=HT_DYNAM
  1485. (type=dynamic, dynamic2)
  1486.  
  1487. These fractals are based on a cyclic system of differential equations:
  1488.      x'(t) = -f(y(t))\
  1489.      y'(t) = f(x(t))\
  1490. These equations are approximated by using a small time step dt, forming
  1491. a time-discrete dynamic system:
  1492.      x(n+1) = x(n) - dt*f(y(n))\
  1493.      y(n+1) = y(n) + dt*f(x(n))\
  1494. The initial values x(0) and y(0) are set to various points in the plane
  1495. the dynamic system is iterated, and the resulting orbit points are plotted.
  1496.  
  1497. In xfractint, the function f is restricted to:
  1498.       f(k) = sin(k + a*fn1(b*k))
  1499. The parameters are the spacing of the inital points, the time step dt,
  1500. and the parameters (a,b,f1) that affect the function f.
  1501. Normally the orbit points are plotted individually, but for a negative
  1502. spacing the points are be connected.
  1503.  
  1504. This fractal is similar to the {=HT_POPCORN Pickover Popcorn}.
  1505.  
  1506. A variant is the implicit Euler approximation:
  1507.      y(n+1) = y(n) + dt*f(x(n))\
  1508.      x(n+1) = x(n) - dt*f(y(n+1))\
  1509. This variant results in complex orbits.  The implicit Euler approximation
  1510. is selected by entering dt<0.
  1511.  
  1512. There are two options that have unusual effects on these fractals.  The
  1513. Orbit Delay value controls how many initial points are computed before
  1514. the orbits are displayed on the screen.  This allows the orbit to settle
  1515. down.  The outside=summ option causes each pixel to increment color every
  1516. time an orbit touches it; the resulting display is a 2-d histogram.
  1517.  
  1518. These fractals are discussed in Chapter 14 of Pickover's "Computers,
  1519. Pattern, Chaos, and Beauty".
  1520.  
  1521. ;
  1522. ;
  1523. ~Topic=Mandelcloud, Label=HT_MANDELCLOUD
  1524. (type=mandelcloud)
  1525.  
  1526. This fractal computes the Mandelbrot function, but displays it differently.
  1527. It starts with regularly spaced initial pixels and displays the resulting
  1528. orbits.  This idea is somewhat similar to the {=HT_DYNAM Dynamic System}.
  1529.  
  1530. There are two options that have unusual effects on this fractal.  The
  1531. Orbit Delay value controls how many initial points are computed before
  1532. the orbits are displayed on the screen.  This allows the orbit to settle
  1533. down.  The outside=summ option causes each pixel to increment color every
  1534. time an orbit touches it; the resulting display is a 2-d histogram.
  1535.  
  1536. This fractal was invented by Noel Giffin.
  1537.  
  1538. ;
  1539. ;
  1540. ~Topic=Peterson Variations, Label=HT_MARKS
  1541. (type=marksmandel, marksjulia, cmplxmarksmand, cmplxmarksjul, marksmandelpwr,
  1542. tim's_error)
  1543.  
  1544. These fractal types are contributions of Mark Peterson. MarksMandel and
  1545. MarksJulia are two families of fractal types that are linked in the same
  1546. manner as the classic Mandelbrot/Julia sets: each MarksMandel set can be
  1547. considered as a mapping into the MarksJulia sets, and is linked with the
  1548. spacebar toggle. The basic equation for these sets is:
  1549.       Z(n+1) = ((lambda^n) * Z(n)^2) + lambda
  1550. where Z(0) = 0.0 and lambda is (x + iy) for MarksMandel. For MarksJulia,
  1551. Z(0) = (x + iy) and lambda is a constant (taken from the MarksMandel
  1552. spacebar toggle, if that method is used). The exponent is a positive
  1553. integer or a complex number. We call these "families" because each value
  1554. of the exponent yields a different MarksMandel set, which turns out to be
  1555. a kinda-polygon with (exponent+1) sides. The exponent value is the third
  1556. parameter, after the "initialization warping" values. Typically one would
  1557. use null warping values, and specify the exponent with something like
  1558. "PARAMS=0/0/4", which creates an unwarped, pentagonal MarksMandel set.
  1559.  
  1560. In the process of coding MarksMandelPwr formula type, Tim Wegner
  1561. created the type "tim's_error" after making an interesting coding mistake.
  1562. ;
  1563. ;
  1564. ~Topic=Unity, Label=HT_UNITY
  1565. (type=unity)
  1566.  
  1567. This Peterson variation began with curiosity about other "Newton-style"
  1568. approximation processes. A simple one,
  1569.  
  1570.    One = (x * x) + (y * y); y = (2 - One) * x;     x = (2 - One) * y;
  1571.  
  1572. produces the fractal called Unity.
  1573.  
  1574. One of its interesting features is the "ghost lines." The iteration loop
  1575. bails out when it reaches the number 1 to within the resolution of a
  1576. screen pixel. When you zoom a section of the image, the bailout criterion
  1577. is adjusted, causing some lines to become thinner and others thicker.
  1578.  
  1579. Only one line in Unity that forms a perfect circle: the one at a radius of
  1580. 1 from the origin. This line is actually infinitely thin. Zooming on it
  1581. reveals only a thinner line, up (down?) to the limit of accuracy for the
  1582. algorithm. The same thing happens with other lines in the fractal, such as
  1583. those around |x| = |y| = (1/2)^(1/2) = .7071
  1584.  
  1585. Try some other tortuous approximations using the {=HT_TEST TEST stub} and
  1586. let us know what you come up with!
  1587. ;
  1588. ;
  1589. ~Topic=Scott Taylor / Lee Skinner Variations, Label=HT_SCOTSKIN
  1590. (type=fn(z*z), fn*fn, fn*z+z, fn+fn, sqr(1/fn), sqr(fn), spider,
  1591. tetrate, manowar)
  1592.  
  1593. Two of Fractint's faithful users went bonkers when we introduced the
  1594. "formula" type, and came up with all kinds of variations on escape-time
  1595. fractals using trig functions.    We decided to put them in as regular
  1596. types, but there were just too many! So we defined the types with variable
  1597. functions and let you, the, overwhelmed user, specify what the functions
  1598. should be! Thus Scott Taylor's "z = sin(z) + z^2" formula type is now the
  1599. "fn+fn" regular type, and EITHER function can be one of sin, cos, tan, cotan,
  1600. sinh, cosh, tanh, cotanh, exp, log, sqr, recip, ident, or cosxx.
  1601. Plus we give you 4 parameters to set, the complex
  1602. coefficients of the two functions!  Thus the innocent-looking "fn+fn" type
  1603. is really 66 different types in disguise, not counting the damage
  1604. done by the parameters!
  1605.  
  1606. Lee informs us that you should not judge fractals by their "outer"
  1607. appearance. For example, the images produced by z = sin(z) + z^2 and z =
  1608. sin(z) - z^2 look very similar, but are different when you zoom in.
  1609. ;
  1610. ;
  1611. ~Topic=Kam Torus, Label=HT_KAM
  1612. (type=kamtorus, kamtorus3d)
  1613.  
  1614. This type is created by superimposing orbits generated by a set of
  1615. equations, with a variable incremented each time.
  1616.  
  1617.      x(0) = y(0) = orbit/3;\
  1618.      x(n+1) = x(n)*cos(a) + (x(n)*x(n)-y(n))*sin(a)\
  1619.      y(n+1) = x(n)*sin(a) - (x(n)*x(n)-y(n))*cos(a)\
  1620.  
  1621. After each orbit, 'orbit' is incremented by a step size. The parameters
  1622. are angle "a", step size for incrementing 'orbit', stop value for 'orbit',
  1623. and points per orbit. Try this with a stop value of 5 with sound=x for
  1624. some weird fractal music (ok, ok, fractal noise)! You will also see the
  1625. KAM Torus head into some chaotic territory that Scott Taylor wanted to
  1626. hide from you by setting the defaults the way he did, but now we have
  1627. revealed all!
  1628.  
  1629. The 3D variant is created by treating 'orbit' as the z coordinate.
  1630.  
  1631. With both variants, you can adjust the "maxiter" value (<X> options
  1632. screen or parameter maxiter=) to change the number of orbits plotted.
  1633. ;
  1634. ;
  1635. ~Topic=Bifurcation, Label=HT_BIF
  1636. (type=bifxxx)
  1637.  
  1638. The wonder of fractal geometry is that such complex forms can arise from
  1639. such simple generating processes. A parallel surprise has emerged in the
  1640. study of dynamical systems: that simple, deterministic equations can yield
  1641. chaotic behavior, in which the system never settles down to a steady state
  1642. or even a periodic loop. Often such systems behave normally up to a
  1643. certain level of some controlling parameter, then go through a transition
  1644. in which there are two possible solutions, then four, and finally a
  1645. chaotic array of possibilities.
  1646.  
  1647. This emerged many years ago in biological models of population growth.
  1648. Consider a (highly over-simplified) model in which the rate of growth is
  1649. partly a function of the size of the current population:
  1650.  
  1651. New Population =  Growth Rate * Old Population * (1 - Old Population)
  1652.  
  1653. where population is normalized to be between 0 and 1. At growth rates less
  1654. than 200 percent, this model is stable: for any starting value, after
  1655. several generations the population settles down to a stable level. But for
  1656. rates over 200 percent, the equation's curve splits or "bifurcates" into
  1657. two discrete solutions, then four, and soon becomes chaotic.
  1658.  
  1659. Type=bifurcation illustrates this model. (Although it's now considered a
  1660. poor one for real populations, it helped get people thinking about chaotic
  1661. systems.) The horizontal axis represents growth rates, from 190 percent
  1662. (far left) to 400 percent; the vertical axis normalized population values,
  1663. from 0 to 4/3. Notice that within the chaotic region, there are narrow
  1664. bands where there is a small, odd number of stable values. It turns out
  1665. that the geometry of this branching is fractal; zoom in where changing
  1666. pixel colors look suspicious, and see for yourself.
  1667.  
  1668. Three parameters apply to bifurcations: Filter Cycles, Seed Population,
  1669. and Function or Beta.
  1670.  
  1671. Filter Cycles (default 1000) is the number of iterations to be done before
  1672. plotting maxiter population values. This gives the iteration time to settle
  1673. into the characteristic patterns that constitute the bifurcation diagram,
  1674. and results in a clean-looking plot.  However, using lower values produces
  1675. interesting results too. Set Filter Cycles to 1 for an unfiltered map.
  1676.  
  1677. Seed Population (default 0.66) is the initial population value from which
  1678. all others are calculated. For filtered maps the final image is independent
  1679. of Seed Population value in the valid range (0.0 < Seed Population < 1.0).
  1680. ~OnlineFF
  1681.  
  1682. Seed Population becomes effective in unfiltered maps - try setting Filter
  1683. Cycles to 1 (unfiltered) and Seed Population to 0.001 ("PARAMS=1/.001" on
  1684. the command line). This results in a map overlaid with nice curves. Each
  1685. Seed Population value results in a different set of curves.
  1686.  
  1687. Function (default "ident") is the function applied to the old population
  1688. before the new population is determined. The "ident" function calculates
  1689. the same bifurcation fractal that was generated before these formulae
  1690. were generalized.
  1691.  
  1692. Beta is used in the bifmay bifurcations and is the power to which the
  1693. denominator is raised.
  1694.  
  1695. Note that fractint normally uses periodicity checking to speed up
  1696. bifurcation computation.  However, in some cases a better quality image
  1697. will be obtained if you turn off periodicity checking with "periodicity=no";
  1698. for instance, if you use a high number of iterations and a smooth
  1699. colormap.
  1700.  
  1701. Many formulae can be used to produce bifurcations.  Mitchel Feigenbaum
  1702. studied lots of bifurcations in the mid-70's, using a HP-65 calculator
  1703. (IBM PCs, Fractals, and Fractint, were all Sci-Fi then !). He studied
  1704. where bifurcations occurred, for the formula r*p*(1-p), the one described
  1705. above.    He found that the ratios of lengths of adjacent areas of
  1706. bifurcation were four and a bit.  These ratios vary, but, as the growth
  1707. rate increases, they tend to a limit of 4.669+.  This helped him guess
  1708. where bifurcation points would be, and saved lots of time.
  1709.  
  1710. When he studied bifurcations of r*sin(PI*p) he found a similar pattern,
  1711. which is not surprising in itself.  However, 4.669+ popped out, again.
  1712. Different formulae, same number ?  Now, THAT's surprising !  He tried many
  1713. other formulae and ALWAYS got 4.669+ - Hot Damn !!!  So hot, in fact, that
  1714. he phoned home and told his Mom it would make him Famous ! He also went on
  1715. to tell other scientists.  The rest is History...
  1716.  
  1717. (It has been conjectured that if Feigenbaum had a copy of Fractint, and
  1718. used it to study bifurcations, he may never have found his Number, as it
  1719. only became obvious from long perusal of hand-written lists of values,
  1720. without the distraction of wild color-cycling effects !).
  1721.  
  1722. We now know that this number is as universal as PI or E. It appears in
  1723. situations ranging from fluid-flow turbulence, electronic oscillators,
  1724. chemical reactions, and even the Mandelbrot Set - yup, fraid so:
  1725. "budding" of the Mandelbrot Set along the negative real axis occurs at
  1726. intervals determined by Feigenbaum's Number, 4.669201660910.....
  1727. ~OnlineFF
  1728.  
  1729. Fractint does not make direct use of the Feigenbaum Number (YET !).
  1730. However, it does now reflect the fact that there is a whole sub-species of
  1731. Bifurcation-type fractals.  Those implemented to date, and the related
  1732. formulae, (writing P for pop[n+1] and p for pop[n]) are :
  1733.  
  1734.   bifurcation  P =  p + r*fn(p)*(1-fn(p))  Verhulst Bifurcations.\
  1735.   biflambda    P =      r*fn(p)*(1-fn(p))  Real equivalent of Lambda Sets.\
  1736.   bif+sinpi    P =  p + r*fn(PI*p)         Population scenario based on...\
  1737.   bif=sinpi    P =      r*fn(PI*p)         ...Feigenbaum's second formula.\
  1738.   bifstewart   P =      r*fn(p)*fn(p) - 1  Stewart Map.\
  1739.   bifmay       P =      r*p / ((1+p)^b)    May Map.\
  1740.  
  1741. It took a while for bifurcations to appear here, despite them being over a
  1742. century old, and intimately related to chaotic systems. However, they are
  1743. now truly alive and well in Fractint!
  1744. ;
  1745. ;
  1746. ~Topic=Orbit Fractals
  1747.  
  1748. Orbit Fractals are generated by plotting an orbit path in two or three
  1749. dimensional space.
  1750.  
  1751. See {Lorenz Attractors}, {Rossler Attractors},
  1752. {Henon Attractors}, {Pickover Attractors}, {Gingerbreadman},
  1753. and {Martin Attractors}.
  1754.  
  1755. The orbit trajectory for these types can be saved in the file ORBITS.RAW
  1756. by invoking
  1757. Fractint with the "orbitsave=yes" command-line option.  This file will
  1758. be overwritten each time you generate a new fractal, so rename it if you
  1759. want to save it.  A nifty program called Acrospin can read these files and
  1760. rapidly rotate them in 3-D - see {=@ACROSPIN Acrospin}.
  1761. ;
  1762. ;
  1763. ~Topic=Lorenz Attractors, Label=HT_LORENZ
  1764. (type=lorenz/lorenz3d)
  1765.  
  1766. The "Lorenz Attractor" is a "simple" set of three deterministic equations
  1767. developed by Edward Lorenz while studying the non- repeatability of
  1768. weather patterns.  The weather forecaster's basic problem is that even
  1769. very tiny changes in initial patterns ("the beating of a butterfly's
  1770. wings" - the official term is "sensitive dependence on initial
  1771. conditions") eventually reduces the best weather forecast to rubble.
  1772.  
  1773. The lorenz attractor is the plot of the orbit of a dynamic system
  1774. consisting of three first order non-linear differential equations. The
  1775. solution to the differential equation is vector-valued function of one
  1776. variable.  If you think of the variable as time, the solution traces an
  1777. orbit.    The orbit is made up of two spirals at an angle to each other in
  1778. three dimensions. We change the orbit color as time goes on to add a
  1779. little dazzle to the image.  The equations are:
  1780.  
  1781.         dx/dt = -a*x + a*y\
  1782.         dy/dt =  b*x - y   -z*x\
  1783.         dz/dt = -c*z + x*y\
  1784.  
  1785. We solve these differential equations approximately using a method known
  1786. as the first order taylor series.  Calculus teachers everywhere will kill
  1787. us for saying this, but you treat the notation for the derivative dx/dt as
  1788. though it really is a fraction, with "dx" the small change in x that
  1789. happens when the time changes "dt".  So multiply through the above
  1790. equations by dt, and you will have the change in the orbit for a small
  1791. time step. We add these changes to the old vector to get the new vector
  1792. after one step. This gives us:
  1793.  
  1794.          xnew = x + (-a*x*dt) + (a*y*dt)\
  1795.          ynew = y + (b*x*dt) - (y*dt) - (z*x*dt)\
  1796.          znew = z + (-c*z*dt) + (x*y*dt)\
  1797.  
  1798.          (default values: dt = .02, a = 5, b = 15, c = 1)
  1799.  
  1800. We connect the successive points with a line, project the resulting 3D
  1801. orbit onto the screen, and voila! The Lorenz Attractor!
  1802.  
  1803. We have added two versions of the Lorenz Attractor.  "Type=lorenz" is the
  1804. Lorenz attractor as seen in everyday 2D.  "Type=lorenz3d" is the same set
  1805. of equations with the added twist that the results are run through our
  1806. perspective 3D routines, so that you get to view it from different angles
  1807. (you can modify your perspective "on the fly" by using the <I> command.)
  1808. If you set the "stereo" option to "2", and have red/blue funny glasses on,
  1809. you will see the attractor orbit with depth perception.
  1810.  
  1811. Hint: the default perspective values (x = 60, y = 30, z = 0) aren't the
  1812. best ones to use for fun Lorenz Attractor viewing.  Experiment a bit -
  1813. start with rotation values of 0/0/0 and then change to 20/0/0 and 40/0/0
  1814. to see the attractor from different angles.- and while you're at it, use a
  1815. non-zero perspective point Try 100 and see what happens when you get
  1816. *inside* the Lorenz orbits.  Here comes one - Duck!  While you are at it,
  1817. turn on the sound with the "X". This way you'll at least hear it coming!
  1818.  
  1819. Different Lorenz attractors can be created using different parameters.
  1820. Four parameters are used. The first is the time-step (dt). The default
  1821. value is .02. A smaller value makes the plotting go slower; a larger value
  1822. is faster but rougher. A line is drawn to connect successive orbit values.
  1823. The 2nd, third, and fourth parameters are coefficients used in the
  1824. differential equation (a, b, and c). The default values are 5, 15, and 1.
  1825. Try changing these a little at a time to see the result.
  1826. ;
  1827. ;
  1828. ~Topic=Rossler Attractors, Label=HT_ROSS
  1829. (type=rossler3D)
  1830.  
  1831. This fractal is named after the German Otto Rossler, a non-practicing
  1832. medical doctor who approached chaos with a bemusedly philosophical
  1833. attitude.  He would see strange attractors as philosophical objects. His
  1834. fractal namesake looks like a band of ribbon with a fold in it. All we can
  1835. say is we used the same calculus-teacher-defeating trick of multiplying
  1836. the equations by "dt" to solve the differential equation and generate the
  1837. orbit.    This time we will skip straight to the orbit generator - if you
  1838. followed what we did above with type {=HT_LORENZ Lorenz} you can easily
  1839. reverse engineer the differential equations.
  1840.  
  1841.          xnew = x - y*dt -     z*dt\
  1842.          ynew = y + x*dt + a*y*dt\
  1843.          znew = z + b*dt + x*z*dt - c*z*dt\
  1844.  
  1845. Default parameters are dt = .04, a = .2, b = .2, c = 5.7
  1846. ;
  1847. ;
  1848. ~Topic=Henon Attractors, Label=HT_HENON
  1849. (type=henon)
  1850.  
  1851. Michel Henon was an astronomer at Nice observatory in southern France. He
  1852. came to the subject of fractals via investigations of the orbits of
  1853. astronomical objects.  The strange attractor most often linked with
  1854. Henon's name comes not from a differential equation, but from the world of
  1855. discrete mathematics - difference equations. The Henon map is an example
  1856. of a very simple dynamic system that exhibits strange behavior. The orbit
  1857. traces out a characteristic banana shape, but on close inspection, the
  1858. shape is made up of thicker and thinner parts.    Upon magnification, the
  1859. thicker bands resolve to still other thick and thin components.  And so it
  1860. goes forever! The equations that generate this strange pattern perform the
  1861. mathematical equivalent of repeated stretching and folding, over and over
  1862. again.
  1863.  
  1864.          xnew =  1 + y - a*x*x\
  1865.          ynew =  b*x\
  1866.  
  1867. The default parameters are a=1.4 and b=.3.
  1868. ;
  1869. ;
  1870. ~Topic=Pickover Attractors, Label=HT_PICK
  1871. (type=pickover)
  1872.  
  1873. Clifford A. Pickover of the IBM Thomas J. Watson Research center is such a
  1874. creative source for fractals that we attach his name to this one only with
  1875. great trepidation.  Probably tomorrow he'll come up with another one and
  1876. we'll be back to square one trying to figure out a name!
  1877.  
  1878. This one is the three dimensional orbit defined by:
  1879.  
  1880.          xnew = sin(a*y) - z*cos(b*x)\
  1881.          ynew = z*sin(c*x) - cos(d*y)\
  1882.          znew = sin(x)\
  1883.  
  1884. Default parameters are: a = 2.24, b = .43, c = -.65, d = -2.43
  1885. ;
  1886. ;
  1887. ~Topic=Gingerbreadman, Label=HT_GINGER
  1888. (type=gingerbreadman)
  1889.  
  1890. This simple fractal is a charming example stolen from "Science of Fractal
  1891. Images", p. 149.
  1892.  
  1893.          xnew = 1 - y + |x|\
  1894.          ynew = x
  1895.  
  1896. The initial x and y values are set by parameters, defaults x=-.1, y = 0.
  1897. ;
  1898. ;
  1899. ~Topic=Martin Attractors, Label=HT_MARTIN
  1900. (type=hopalong/martin)
  1901.  
  1902. These fractal types are from A. K. Dewdney's "Computer Recreations" column
  1903. in "Scientific American". They are attributed to Barry Martin of Aston 
  1904. University in Birmingham, Alabama. 
  1905.  
  1906. Hopalong is an "orbit" type fractal like lorenz. The image is obtained by 
  1907. iterating this formula after setting z(0) = y(0) = 0:
  1908.       x(n+1) = y(n) - sign(x(n))*sqrt(abs(b*x(n)-c))
  1909.       y(n+1) = a - x(n)
  1910. Parameters are a, b, and c. The function "sign()"  returns 1 if the argument 
  1911. is positive, -1 if argument is negative.
  1912.  
  1913. This fractal continues to develop in surprising ways after many iterations.
  1914.  
  1915. Another Martin fractal is simpler. The iterated formula is:
  1916.       x(n+1) = y(n) - sin(x(n))
  1917.       y(n+1) = a - x(n)
  1918. The paramneter is "a". Try values near the number pi.
  1919. ;
  1920. ;
  1921. ;
  1922. ~Topic=Quaternion, Label=HT_QUAT
  1923. (type=quat,quatjul)
  1924.  
  1925. These fractals are based on quaternions.  Quaternions are an extension of
  1926. complex numbers, with 4 parts instead of 2.  That is, a quaternion Q
  1927. equals a+ib+jc+kd, where a,b,c,d are reals.  Quaternions have rules for
  1928. addition and multiplication.  The normal Mandelbrot and Julia formulas
  1929. can be generalized to use quaternions instead of complex numbers.
  1930.  
  1931. There is one complication.  Complex numbers have 2 parts, so they can
  1932. be displayed on a plane.  Quaternions have 4 parts, so they require 4
  1933. dimensions to view.  That is, the quaternion Mandelbrot set is actually a
  1934. 4-dimensional object.  Each quaternion C generates a 4-dimensional Julia set.
  1935.  
  1936. One method of displaying the 4-dimensional object is to take a 3-dimensional
  1937. slice and render the resulting object in 3-dimensional perspective.
  1938. Fractint isn't that sophisticated, so it merely displays a 2-dimensional
  1939. slice of the resulting object.
  1940.  
  1941. In xfractint, for the Julia set, you can specify the four parameters
  1942. of the quaternion constant: C=(c,ci,cj,ck), but the 2-dimensional slice 
  1943. of the z-plane Julia set is fixed to (xpixel,ypixel,0,0).
  1944.  
  1945. For the Mandelbrot set, you can specify the position of the c-plane slice:
  1946. (xpixel,ypixel,cj,ck).
  1947.  
  1948. These fractals are discussed in Chapter 10 of Pickover's "Computers,
  1949. Pattern, Chaos, and Beauty".
  1950.  
  1951. ;
  1952. ;
  1953. ~Topic=Cellular Automata, Label=HT_CELLULAR
  1954. (type=cellular)
  1955.  
  1956. These fractals are generated by 1-dimensional cellular automata.  Consider
  1957. a 1-dimensional line of cells, where each cell can have the value 0 or 1.
  1958. In each time step, the new value of a cell is computed from the old value
  1959. of the cell and the values of its neighbors.  On the screen, each horizontal
  1960. row shows the value of the cells at one time.  The time axis proceeds down
  1961. the screen, with each row computed from the row above.
  1962.  
  1963. Different classes of cellular automata can be described by how many different
  1964. states a cell can have (k), and how many neighbors on each side are examined
  1965. (r).  Fractint implements the binary nearest neighbor cellular automata
  1966. (k=2,r=1), the binary next-nearest neighbor cellular automata (k=2,r=2),
  1967. and the ternary nearest neighbor cellular automata (k=3,r=1) and several
  1968. others.
  1969.  
  1970. The rules used here determine the next state of a given cell by using the
  1971. sum of the states in the cell's neighborhood.  For the binary nearest
  1972. neighbor cellular automata, only the closest neighbor on each side is used.
  1973. This results in a 4 digit rule controlling the generation of each new
  1974. line:  if each of the cells in the neighborhood is 1, the maximum sum is
  1975. 1+1+1 = 3 and the sum can range from 0 to 3, or 4 values.  This results in
  1976. a 4 bit binary rule.  For instance, in the rule 1010, starting from the
  1977. right we have 0->0, 1->1, 2->0, 3->1.
  1978.  
  1979. For the next-nearest cellular automata (kr = 22), each pixel is determined
  1980. from the pixel value and the two neighbors on each side.  This results in
  1981. a 6 bit rule.
  1982.  
  1983. For the ternary nearest neighbor cellular automata (kr = 31), each cell
  1984. can have the value 0, 1, or 2.  A single neighbor on each side is examined,
  1985. resulting in a 7 digit rule.
  1986.  
  1987. The starting row of cells can be set to a pattern of up to 10 digits or to a
  1988. random pattern.  The borders are set to zeroes if a pattern is entered or are
  1989. set randomly if the starting row is set randomly.
  1990.  
  1991. A zero rule will randomly generate the rule to use.
  1992.  
  1993. Hitting the space bar will continue the generation of the cellular automata.
  1994.  
  1995. Recommended reading:
  1996. "Computer Software in Science and Mathematics", Stephen Wolfram, Scientific
  1997. American, September, 1984.
  1998. "Abstract Mathematical Art", Kenneth E. Perry, BYTE, December, 1986.
  1999. "The Armchair Universe", A. K. Dewdney, W. H. Freeman and Company, 1988.
  2000. "Complex Patterns Generated by Next Nearest Neighbors Cellular Automata",
  2001. Wentian Li, Computers & Graphics, Volume 13, Number 4.
  2002. ;
  2003. ;
  2004. ~Topic=Test, Label=HT_TEST
  2005. (type=test)
  2006.  
  2007. This is a stub that we (and you!) use for trying out new fractal types.
  2008. "Type=test" fractals make use of Fractint's structure and features for
  2009. whatever code is in the routine 'testpt()' (located in the small source
  2010. file TESTPT.C) to determine the color of a particular pixel.
  2011.  
  2012. If you have a favorite fractal type that you believe would fit nicely into
  2013. Fractint, just rewrite the C function in TESTPT.C (or use the prototype
  2014. function there, which is a simple M-set implementation) with an algorithm
  2015. that computes a color based on a point in the complex plane.
  2016.  
  2017. After you get it working, send your code to one of the authors and we
  2018. might just add it to the next release of Fractint, with full credit to
  2019. you. Our criteria are: 1) an interesting image and 2) a formula
  2020. significantly different from types already supported. (Bribery may also
  2021. work. THIS author is completely honest, but I don't trust those other
  2022. guys.) Be sure to include an explanation of your algorithm and the
  2023. parameters supported, preferably formatted as you see here to simplify
  2024. folding it into the documentation.
  2025. ;
  2026. ;
  2027. ~Topic=Formula, Label=HT_FORMULA
  2028. (type=formula)
  2029.  
  2030. This is a "roll-your-own" fractal interpreter - you don't even need a
  2031. compiler!
  2032.  
  2033. To run a "type=formula" fractal, you first need a text file containing
  2034. formulas (there's a sample file - FRACTINT.FRM - included with this
  2035. distribution).    When you select the "formula" fractal type, Fractint scans
  2036. the current formula file (default is FRACTINT.FRM) for formulas, then
  2037. prompts you for the formula name you wish to run.  After prompting for any
  2038. parameters, the formula is parsed for syntax errors and then the fractal
  2039. is generated. If you want to use a different formula file, press <F6> when
  2040. you are prompted to select a formula name.
  2041.  
  2042. There are two command-line options that work with type=formula
  2043. ("formulafile=" and "formulaname="), useful when you are using this
  2044. fractal type in batch mode.
  2045.  
  2046. The following documentation is supplied by Mark Peterson, who wrote the
  2047. formula interpreter:
  2048.  
  2049. Formula fractals allow you to create your own fractal formulas.  The
  2050. general format is:
  2051.  
  2052.    Mandelbrot(XAXIS) \{ z = Pixel:  z = sqr(z) + pixel, |z| <= 4 \}\
  2053.       |     |       |            |           |\
  2054.      Name     Symmetry      Initial      Iteration      Bailout\
  2055.               Condition              Criteria\
  2056.  
  2057. Initial conditions are set, then the iterations performed until the
  2058. bailout criteria is true or 'z' turns into a periodic loop.
  2059. All variables are created automatically by their usage and treated as
  2060. complex.  If you declare 'v = 2' then the variable 'v' is treated as a
  2061. complex with an imaginary value of zero.
  2062.  
  2063. ~Format-
  2064.       Predefined Variables (x, y)
  2065.       --------------------------------------------
  2066.       z         used for periodicity checking
  2067.       p1         parameters 1 and 2
  2068.       p2         parameters 3 and 4
  2069.       pixel      screen coordinates
  2070.           LastSqr        Modulus from the last sqr() function
  2071.           rand           Complex random number
  2072.  
  2073.           Precedence
  2074.           --------------------------------------------
  2075.           1              sin(), cos(), sinh(), cosh(), cosxx(),
  2076.                          tan(), cotan(), tanh(), cotanh(),
  2077.                          sqr, log(), exp(), abs(), conj(), real(),
  2078.                          imag(), flip(), fn1(), fn2(), fn3(), fn4(),
  2079.                          srand()
  2080.           2              - (negation), ^ (power)
  2081.           3              * (multiplication), / (division)
  2082.           4              + (addition), - (subtraction)
  2083.           5              = (assignment)
  2084.           6              < (less than), <= (less than or equal to)
  2085.                          > (greater than), >= (greater than or equal to)
  2086.                          == (equal to), != (not equal to)
  2087.           7              && (logical AND), || (logical OR)
  2088. ~Format+
  2089.  
  2090. Precedence may be overridden by use of parenthesis.  Note the modulus
  2091. squared operator |z| is also parenthetic and always sets the imaginary
  2092. component to zero.  This means 'c * |z - 4|' first subtracts 4 from z,
  2093. calculates the modulus squared then multiplies times 'c'.  Nested modulus
  2094. squared operators require overriding parenthesis:
  2095.  
  2096.       c * |z + (|pixel|)|
  2097.  
  2098. The functions fn1(...) to fn4(...) are variable functions - when used,
  2099. the user is prompted at run time (on the <Z> screen) to specify one of
  2100. sin, cos, sinh, cosh, exp, log, sqr, etc. for each required variable function.
  2101.  
  2102. The formulas are performed using either integer or floating point
  2103. mathematics depending on the <F> floating point toggle.  If you do not
  2104. have an FPU then type MPC math is performed in lieu of traditional
  2105. floating point.
  2106.  
  2107. The 'rand' predefined variable is changed with each iteration to a new
  2108. random number with the real and imaginary components containing a value
  2109. between zero and 1. Use the srand() function to initialize the random
  2110. numbers to a consistant random number sequence.  If a formula does not
  2111. contain the srand() function, then the formula compiler will use the system
  2112. time to initialize the sequence.  This could cause a different fractal to be
  2113. generated each time the formula is used depending on how the formula is
  2114. written.
  2115.  
  2116. Remember that when using integer math there is a limited dynamic range, so
  2117. what you think may be a fractal could really be just a limitation of the
  2118. integer math range.  God may work with integers, but His dynamic range is
  2119. many orders of magnitude greater than our puny 32 bit mathematics!  Always
  2120. verify with the floating point <F> toggle.
  2121. ;
  2122. ;
  2123. ~Topic=Julibrots, Label=HT_JULIBROT
  2124. (type=julibrot)
  2125.  
  2126. The following documentation is supplied by Mark Peterson, who "invented"
  2127. the Julibrot algorithm.
  2128.  
  2129. There is a very close relationship between the Mandelbrot set and Julia
  2130. sets of the same equation.  To draw a Julia set you take the basic
  2131. equation and vary the initial value according to the two dimensions of
  2132. screen leaving the constant untouched.    This method diagrams two
  2133. dimensions of the equation, 'x' and 'iy', which I refer to as the Julia x
  2134. and y.
  2135.  
  2136.      z(0) = screen coordinate (x + iy)\
  2137.      z(1) = (z(0) * z(0)) + c, where c = (a + ib)\
  2138.      z(2) = (z(1) * z(0)) + c\
  2139.      z(3) = . . . .\
  2140.  
  2141. The Mandelbrot set is a composite of all the Julia sets.  If you take the
  2142. center pixel of each Julia set and plot it on the screen coordinate
  2143. corresponding to the value of c, a + ib, then you have the Mandelbrot set.
  2144.  
  2145.      z(0) = 0\
  2146.      z(1) = (z(0) * z(0)) + c, where c = screen coordinate (a + ib)\
  2147.      z(2) = (z(1) * z(1)) + c\
  2148.      z(3) = . . . .\
  2149.  
  2150. I refer to the 'a' and 'ib' components of 'c' as the Mandelbrot 'x' and
  2151. 'y'.
  2152.  
  2153. All the 2 dimensional Julia sets correspond to a single point on the 2
  2154. dimensional Mandelbrot set, making a total of 4 dimensions associated with
  2155. our equation.  Visualizing 4 dimensional objects is not as difficult as it
  2156. may sound at first if you consider we live in a 4 dimensional world.  The
  2157. room around you is three dimensions and as you read this text you are
  2158. moving through the fourth dimension of time. You and everything around
  2159. your are 4 dimensional objects - which is to say 3 dimensional objects
  2160. moving through time.  We can think of the 4 dimensions of our equation in
  2161. the same manner, this is as a 3 dimensional object evolving over time -
  2162. sort of a 3 dimensional fractal movie.    The fun part of it is you get to
  2163. pick the dimension representing time!
  2164.  
  2165. To construct the 4 dimensional object into something you can view on the
  2166. computer screen you start with the simple 2 dimensions of the Julia set.
  2167. I'll treat the two Julia dimensions as the spatial dimensions of height
  2168. and width, and the Mandelbrot 'y' dimension as the third spatial dimension
  2169. of depth.  This leaves the Mandelbrot 'x' dimension as time.  Draw the
  2170. Julia set associated with the Mandelbrot coordinate (-.83, -.25), but
  2171. instead of setting the color according to the iteration level it bailed
  2172. out on, make it a two color drawing where the pixels are black for
  2173. iteration levels less than 30, and another color for iteration levels
  2174. greater than or equal to 30.  Now increment the Mandelbrot 'y' coordinate
  2175. by a little bit, say (-.83, -.2485), and draw another Julia set in the
  2176. same manner using a different color for bailout values of 30 or greater.
  2177. Continue doing this until you reach (-.83, .25).  You now have a three
  2178. dimensional representation of the equation at time -.83.  If you make the
  2179. same drawings for points in time before and after -.83 you can construct a
  2180. 3 dimensional movie of the equation which essentially is a full 4
  2181. dimensional representation.
  2182.  
  2183. In the Julibrot fractal available with this release of Fractint the
  2184. spatial dimensions of height and width are always the Julia dimensions.
  2185. The dimension of depth is determined by the Mandelbrot coordinates.  The
  2186. program will consider the dimension of depth as the line between the two
  2187. Mandelbrot points.  To draw the image in our previous example you would
  2188. set the 'From Mandelbrot' to (-.83, .25) and the 'To Mandelbrot' as (-.83,
  2189. -.25).    If you set the number of 'z' pixels to 128 then the program will
  2190. draw the 128 Julia sets found between Mandelbrot points (-.83, .25) and (-
  2191. .83, -.25).  To speed things up the program doesn't actually calculate ALL
  2192. the coordinates of the Julia sets.  It starts with the a pixel a the Julia
  2193. set closest to the observer and moves into the screen until it either
  2194. reaches the required bailout or the limit to the range of depth.  Zooming
  2195. can be done in the same manner as with other fractals.    The visual effect
  2196. (with other values unchanged) is similar to putting the boxed section
  2197. under a pair of magnifying glasses.
  2198.  
  2199. The variable associated with penetration level is the level of bailout
  2200. there you decide to make the fractal solid.  In other words all bailout
  2201. levels less than the penetration level are considered to be transparent,
  2202. and those equal or greater to be opaque.  The farther away the apparent
  2203. pixel is the dimmer the color.
  2204.  
  2205. The remainder of the parameters are needed to construct the red/blue
  2206. picture so that the fractal appears with the desired depth and proper 'z'
  2207. location.  With the origin set to 8 inches beyond the screen plane and the
  2208. depth of the fractal at 8 inches the default fractal will appear to start
  2209. at 4 inches beyond the screen and extend to 12 inches if your eyeballs are
  2210. 2.5 inches apart and located at a distance of 24 inches from the screen.
  2211. The screen dimensions provide the reference frame.
  2212.  
  2213. To the human eye blue appears brighter than red.  The Blue:Red ratio is
  2214. used to compensate for this fact.  If the image appears reddish through
  2215. the glasses raise this value until the image appears to be in shades of
  2216. gray.  If it appears bluish lower the ratio.  Julibrots can only be shown
  2217. in 256 red/blue colors for viewing in either stereo-graphic (red/blue
  2218. funny glasses) or gray-scaled.    Fractint automatically loads either
  2219. GLASSES1.MAP or ALTERN.MAP as appropriate.
  2220. ;
  2221. ;
  2222. ~Topic=Diffusion Limited Aggregation, Label=HT_DIFFUS
  2223. (type=diffusion)
  2224.  
  2225. This type begins with a single point in the center of the screen.
  2226. Subsequent points move around randomly until coming into contact with the
  2227. first point, at which time their locations are fixed and they are colored
  2228. randomly.  This process repeats until the fractals reaches the edge of the
  2229. screen.  Use the show orbits function to see the points' random motion.
  2230.  
  2231. One unfortunate problem is that on a large screen, this process will tend
  2232. to take eons.  To speed things up, the points are restricted to a box
  2233. around the initial point.  The first and only parameter to diffusion
  2234. contains the size of the border between the fractal and the edge of the
  2235. box.  If you make this number small, the fractal will look more solid and
  2236. will be generated more quickly.
  2237.  
  2238. Diffusion was inspired by a Scientific American article a couple of years
  2239. back which includes actual pictures of real physical phenomena that behave
  2240. like this.
  2241.  
  2242. Thanks to Adrian Mariano for providing the diffusion code and
  2243. documentation. Juan J. Buhler added the additional options.
  2244. ;
  2245. ;
  2246. ~Topic=Lyapunov Fractals, Label=HT_LYAPUNOV
  2247. (type=lyapunov)
  2248.  
  2249. The Bifurcation fractal illustrates what happens in a simple population
  2250. model as the growth rate increases.  The Lyapunov fractal expands that model
  2251. into two dimensions by letting the growth rate vary in a periodic fashion
  2252. between two values.  Each pair of growth rates is run through a logistic
  2253. population model and a value called the Lyapunov Exponent is calculated for
  2254. each pair and is plotted. The Lyapunov Exponent is calculated by adding up
  2255. log | r -2*r*x| over many cycles of the population model and dividing by the
  2256. number of cycles. Negative Lyapunov exponents indicate a stable periodic
  2257. behavior and are plotted in color. Positive Lyapunov exponents indicate
  2258. chaos and are colored black.
  2259.  
  2260. Order parameter.
  2261. Each possible periodic sequence yields a two dimensional space to explore.
  2262. The Order parameter selects a sequence.  The default value 0
  2263. represents the sequence ab which alternates between the two values of the
  2264. growth parameter.  Here is how to calculate the space parameter for any
  2265. desired sequence.  Take your sequence of a's and b's and arrange it so that
  2266. it starts with at least 2 a's and ends with a b. It may be necessary to
  2267. rotate the sequence or swap a's and b's. Strike the first a and the last b
  2268. off the list and replace each remaining a with a 1 and each remaining b with
  2269. a zero. Interpret this as a binary number and convert it into decimal.
  2270.  
  2271. An Example
  2272. I like sonnets.  A sonnet is a poem with fourteen lines that has the
  2273. following rhyming sequence: abba abba abab cc.  Ignoring the rhyming couplet
  2274. at the end, let's calculate the Order parameter for this pattern.
  2275.  
  2276.   abbaabbaabab         doesn't start with at least 2 a's \
  2277.   aabbaabababb         rotate it \
  2278.   1001101010           drop the first and last, replace with 0's and 1's \
  2279.   512+64+32+8+2 = 618
  2280.  
  2281. An Order parameter of 618 gives the Lyapunov equivalent of a sonnet.  "How do
  2282. I make thee, let me count the ways..."
  2283.  
  2284. Population Seed
  2285. When two parts of a Lyapunov overlap, which spike overlaps which is strongly
  2286. dependant on the initial value of the population model.  Any changes from
  2287. using a different starting value between 0 and 1 may be subtle.
  2288.  
  2289. Reference:
  2290.  
  2291. A.K. Dewdney Mathematical Recreations Scientific American Sept. 1991
  2292. ;
  2293. ;
  2294. ~Topic=Magnetic Fractals, Label=HT_MAGNET
  2295. (type=magnet1m/.../magnet2j)
  2296.  
  2297. These fractals use formulae derived from the study of hierarchical
  2298. lattices, in the context of magnetic renormalisation transformations.
  2299. This kinda stuff is useful in an area of theoretical physics that deals
  2300. with magnetic phase-transitions (predicting at which temperatures a given
  2301. substance will be magnetic, or non-magnetic).  In an attempt to clarify
  2302. the results obtained for Real temperatures (the kind that you and I can
  2303. feel), the study moved into the realm of Complex Numbers, aiming to spot
  2304. Real phase-transitions by finding the intersections of lines representing
  2305. Complex phase-transitions with the Real Axis.  The first people to try
  2306. this were two physicists called Yang and Lee, who found the situation a
  2307. bit more complex than first expected, as the phase boundaries for Complex
  2308. temperatures are (surprise!) fractals.
  2309.  
  2310. And that's all the technical (?) background you're getting here!  For more
  2311. details (are you SERIOUS ?!) read "The Beauty of Fractals".  When you
  2312. understand it all, you might like to re-write this section, before you
  2313. start your new job as a professor of theoretical physics...
  2314.  
  2315. In Fractint terms, the important bits of the above are "Fractals",
  2316. "Complex Numbers", "Formulae", and "The Beauty of Fractals".  Lifting the
  2317. Formulae straight out of the Book and iterating them over the Complex
  2318. plane (just like the Mandelbrot set) produces Fractals.
  2319.  
  2320. The formulae are a bit more complicated than the Z^2+C used for the
  2321. Mandelbrot Set, that's all.  They are :
  2322.  
  2323. ~Format-
  2324. ; Use this for the document...
  2325. ~Online-
  2326.            /  Z^2 + (C-1)  \\
  2327.     MAGNET1 : |  -------------  | ^ 2
  2328.            \\  2*Z + (C-2)  /
  2329.  
  2330.            /      Z^3 + 3*(C-1)*Z + (C-1)*(C-2)      \\
  2331.     MAGNET2 : |  ---------------------------------------  | ^ 2
  2332.            \\  3*(Z^2) + 3*(C-2)*Z + (C-1)*(C-2) - 1  /
  2333. ~Online+,Doc-
  2334. ; And this for online...
  2335. ~Include help2a.src
  2336. ~Doc+
  2337. ~Format+
  2338.  
  2339. These aren't quite as horrific as they look (oh yeah ?!) as they only
  2340. involve two variables (Z and C), but cubing things, doing division, and
  2341. eventually squaring the result (all in Complex Numbers) don't exactly
  2342. spell S-p-e-e-d !  These are NOT the fastest fractals in Fractint !
  2343.  
  2344. As you might expect, for both formulae there is a single related
  2345. Mandelbrot-type set (magnet1m, magnet2m) and an infinite number of related
  2346. Julia-type sets (magnet1j, magnet2j), with the usual toggle between the
  2347. corresponding Ms and Js via the spacebar.
  2348.  
  2349. If you fancy delving into the Julia-types by hand, you will be prompted
  2350. for the Real and Imaginary parts of the parameter denoted by C.  The
  2351. result is symmetrical about the Real axis (and therefore the initial image
  2352. gets drawn in half the usual time) if you specify a value of Zero for the
  2353. Imaginary part of C.
  2354.  
  2355. Fractint Historical Note:  Another complication (besides the formulae) in
  2356. implementing these fractal types was that they all have a finite attractor
  2357. (1.0 + 0.0i), as well as the usual one (Infinity).  This fact spurred the
  2358. development of Finite Attractor logic in Fractint.  Without this code you
  2359. can still generate these fractals, but you usually end up with a pretty
  2360. boring image that is mostly deep blue "lake", courtesy of Fractint's
  2361. standard {Periodicity Logic}.
  2362. See {Finite Attractors} for more
  2363. information on this aspect of Fractint internals.
  2364.  
  2365. (Thanks to Kevin Allen for Magnetic type documentation above).
  2366. ;
  2367. ;
  2368. ~Topic=L-Systems, Label=HT_LSYS
  2369. (type=lsystem)
  2370.  
  2371. These fractals are constructed from line segments using rules specified in
  2372. drawing commands.  Starting with an initial string, the axiom,
  2373. transformation rules are applied a specified number of times, to produce
  2374. the final command string which is used to draw the image.
  2375.  
  2376. Like the type=formula fractals, this type requires a separate data file.
  2377. A sample file, FRACTINT.L, is included with this distribution.    When you
  2378. select type lsystem, the current lsystem file is read and you are asked
  2379. for the lsystem name you wish to run. Press <F6> at this point if you wish
  2380. to use a different lsystem file. After selecting an lsystem, you are asked
  2381. for one parameter - the "order", or number of times to execute all the
  2382. transformation rules.  It is wise to start with small orders, because the
  2383. size of the substituted command string grows exponentially and it is very
  2384. easy to exceed your resolution.  (Higher orders take longer to generate
  2385. too.)  The command line options "lname=" and "lfile=" can be used to over-
  2386. ride the default file name and lsystem name.
  2387.  
  2388. Each L-System entry in the file contains a specification of the angle, the
  2389. axiom, and the transformation rules.  Each item must appear on its own
  2390. line and each line must be less than 160 characters long.
  2391.  
  2392. The statement "angle n" sets the angle to 360/n degrees; n must be an
  2393. integer greater than two and less than fifty.
  2394.  
  2395. "Axiom string" defines the axiom.
  2396.  
  2397. Transformation rules are specified as "a=string" and convert the single
  2398. character 'a' into "string."  If more than one rule is specified for a
  2399. single character all of the strings will be added together.  This allows
  2400. specifying transformations longer than the 160 character limit.
  2401. Transformation rules may operate on any characters except space, tab or
  2402. '}'.
  2403.  
  2404. Any information after a ; (semi-colon) on a line is treated as a comment.
  2405.  
  2406. Here is a sample lsystem:
  2407.  
  2408. ~Format-
  2409. Dragon \{      ; Name of lsystem, \{ indicates start
  2410.   Angle 8     ; Specify the angle increment to 45 degrees
  2411.   Axiom FX     ; Starting character string
  2412.   F=         ; First rule:    Delete 'F'
  2413.   y=+FX--FY+     ; Change 'y' into  "+fx--fy+"
  2414.   x=-FX++FY-     ; Similar transformation on 'x'
  2415. }         ; final } indicates end
  2416.  
  2417. The standard drawing commands are:
  2418.     F Draw forward
  2419.     G Move forward (without drawing)
  2420.     + Increase angle
  2421.     - Decrease angle
  2422.     | Try to turn 180 degrees. (If angle is odd, the turn
  2423.       will be the largest possible turn less than 180 degrees.)
  2424. ~Format+
  2425.  
  2426. These commands increment angle by the user specified angle value. They
  2427. should be used when possible because they are fast. If greater flexibility
  2428. is needed, use the following commands which keep a completely separate
  2429. angle pointer which is specified in degrees.
  2430.  
  2431. ~Format-
  2432.     D    Draw forward
  2433.     M    Move forward
  2434.     \nn Increase angle nn degrees
  2435.     /nn Decrease angle nn degrees
  2436.  
  2437. Color control:
  2438.     Cnn Select color nn
  2439.     <nn Increment color by nn
  2440.     >nn decrement color by nn
  2441.  
  2442. Advanced commands:
  2443.     !      Reverse directions (Switch meanings of +, - and \, /)
  2444.     @nnn  Multiply line segment size by nnn
  2445.       nnn may be a plain number, or may be preceded by
  2446.           I for inverse, or Q for square root.
  2447.           (e.g.  @IQ2 divides size by the square root of 2)
  2448.     [      Push.  Stores current angle and position on a stack
  2449.     ]      Pop.    Return to location of last push
  2450. ~Format+
  2451.  
  2452. Other characters are perfectly legal in command strings.  They are ignored
  2453. for drawing purposes, but can be used to achieve complex translations.
  2454. ;
  2455. ;
  2456. ;
  2457.  
  2458.